已知点和线, 求垂足

1. 已知点 (A(x_1, y_1)), 现有一条直线 (l): (ax+by+c=0), 直线 (l) 到(A) 的举例为 (d), 点 (A) 到直线 (l) 的垂足点记为 (B), 求 (B) 的坐标.

• 解答

  已知直线的表达式, 可知直线上的一个垂线量为: ((a,b)), 记 (B) 的坐标表示为 ((x_2,y_2)), 那么向量 (overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)), (d(A,B)=d), 所以, (frac{(a,b) cdot d}{left|(a,b) ight|_2} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)), 所以 (B) 表示为:

  [(x_2,y_2)=(x_1,y_2) - frac{(a,b) cdot d}{left|(a,b) ight|_2}, ]

  推向多项式表示, 超平面表示为 (omega x + b = 0), 点 (A) 坐标表示为 (x_0), (A) 到 (B) 的距离表示为 (gamma), 那么 (B) 表示为:

  [x_1 = x_0 - gamma cdot frac{omega}{left| omega ight|_2} ]