题解 P5091 【【模板】欧拉定理】

欧拉定理：若 (gcd(a,n)=1)，(a^{varphi(n)}equiv 1(mod n))

设 (1sim n-1) 中与 (n) 互素的 (varphi(n)) 个数 (x_1,x_2,...,x_{varphi(n)}in M_1)，那么集合 (M_1) 为模 (n) 的一个缩系

再设 (acdot x_1,acdot x_2,...,acdot x_{varphi(n)}in M_2)，由于缩系的性质，集合 (M_2) 也为模 (n) 的缩系

[Longrightarrow acdot x_1cdot acdot x_2cdot ...cdot acdot x_{varphi(n)}equiv x_1,x_2,...,x_{varphi(n)}(mod n) ]

化简得 (a^{varphi(n)}equiv 1(mod n))

如何求一个数的欧拉函数？让我们先证明另一个定理。

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定理：(varphi(a)=acdot (1-frac {1}{p_1})cdot (1-frac {1}{p_2})cdot ...cdot (1-frac {1}{p_n}))

• 当 (a=p) 时，即 (a) 是素数，(varphi(a)=a-1)

• 当 (a=p^k(k>1)) 时，即 (a) 是一个素数幂，先考虑与 (p^k) 不互素的数 (a(1leq aleq p^k))，(p^k) 仅有因子 (p)，所以 (p|a) 必定成立。所以 (a) 的值可以有 (p,2p,3p,...,p^{k-1}cdot p)，显然个数为 (p^{k-1}) 个。又知小于等于 (a) 的正整数总数为 (p^k) 个，所以 (varphi(a)=p^k-p^{k-1}=p^kcdot (1-frac {1}{p}))

• 当 (a) 为合数时，可表示为 (a=p_1^{k_1}cdot p_2^{k_2}cdot ...cdot p_n^{k_n})，是多个素数幂的积。由 (varphi(nm)=varphi(n)cdot varphi(m)) 得 $$varphi(a)=varphi(p_1^{k_1})cdot varphi(p_2^{k_2})cdot ...cdot varphi(p_n^{k_n})=p_1^{k_1}cdot (1-frac{1}{p_1})cdot p_2^{k_2}cdot (1-frac {1}{p_2})cdot ...cdot p_n^{k_n}cdot (1-frac {1}{p_n})$$ 合并所有 (p_i^{k_i}) 等于 (a)，证得 (varphi(a)=acdot (1-frac {1}{p_1})cdot (1-frac {1}{p_2})cdot ...cdot (1-frac {1}{p_n}))

不少证明 (varphi(nm)=varphi(n)cdot varphi(m)) 都是一句话显然，所以有兴趣的话可以证明上述性质。

然后根据引理，可以在 (O(sqrt{n})) 的时间内求出一个数的欧拉函数，这一般在不能线性筛出 (varphi) 函数时使用。

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扩展欧拉定理：

若 (b<varphi(m))，(a^bequiv a^b(mod m))

若 (bgeq varphi(m))，(a^bequiv a^{b mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m))

(b) 的指数部分可以边乘边模，最后对 (a^b) 线性求或者快速幂即可

(Code Below:)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,m,b;

inline ll read(ll m){
	register ll x=0,f=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)){
		x=x*10+ch-'0';
		if(x>=m) f=1;
		x%=m;ch=getchar();
	}
	return x+(f==1?m:0);
}

ll phi(ll n){
	ll ans=n,m=sqrt(n);
	for(ll i=2;i<=m;i++){
		if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0) n/=i;	
		}
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

ll fast_pow(ll a,ll b,ll p){
	ll ret=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1) ret=ret*a%p;
	return ret;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&m);
    b=read(phi(m));
    printf("%lld
",fast_pow(a,b,m));
    return 0;
}