[学习笔记]K-D Tree

以前其实学过的但是不会拍扁重构……所以这几天学了一下 (K-D Tree) 的正确打开姿势。

(K) 维 (K-D Tree) 的单次操作最坏时间复杂度为 (O(k imes n^{1-frac 1k}))

1、[Violet]天使玩偶/SJY摆棋子

二维 (K-D Tree)。

不过要暴力重构。。。我终于会了，但不开 (O_2) 过不去。。。

(Code Below:)

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double alpha=0.75;
int n,m,D,rt,tot,ans,cnt,rub[maxn<<1],top;

struct node{
    int d[2];
}a[maxn<<1];

struct KD_Tree{
    int d[2],Max[2],Min[2],ch[2],siz;
    inline void init(){
        d[0]=d[1]=Max[0]=Max[1]=Min[0]=Min[1]=ch[0]=ch[1]=siz=0;
    }
    inline void get(node a){
        Max[0]=Min[0]=d[0]=a.d[0];
        Max[1]=Min[1]=d[1]=a.d[1];
    }
}t[maxn<<1];
inline bool operator < (const node &a,const node &b){
    return a.d[D]<b.d[D];
}

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

inline int newnode(){
    int x=top?rub[top--]:++cnt;
    t[x].init();return x;
}

inline void update(int x,int y){
    t[x].Max[0]=max(t[x].Max[0],t[y].Max[0]);
    t[x].Max[1]=max(t[x].Max[1],t[y].Max[1]);
    t[x].Min[0]=min(t[x].Min[0],t[y].Min[0]);
    t[x].Min[1]=min(t[x].Min[1],t[y].Min[1]);
}

inline void pushup(int x){
    t[x].siz=t[t[x].ch[0]].siz+t[t[x].ch[1]].siz+1;
    if(t[x].ch[0]) update(x,t[x].ch[0]);
    if(t[x].ch[1]) update(x,t[x].ch[1]);
}

int build(int l,int r,int now){
    int mid=(l+r)>>1,x=newnode();D=now;
    nth_element(a+l,a+mid,a+r+1);
    t[x].get(a[mid]);
    if(l<mid) t[x].ch[0]=build(l,mid-1,now^1);
    if(mid<r) t[x].ch[1]=build(mid+1,r,now^1);
    pushup(x);return x;
}

inline void del(int x){
    if(t[x].ch[0]) del(t[x].ch[0]);
    a[++tot]=(node){t[x].d[0],t[x].d[1]};
    rub[++top]=x;
    if(t[x].ch[1]) del(t[x].ch[1]);
}

inline void check(int &x,int now){
    if(1.0*max(t[t[x].ch[0]].siz,t[t[x].ch[1]].siz)>1.0*alpha*t[x].siz)
        tot=0,del(x),x=build(1,tot,now);
}

void insert(int &x,node c,int now){
    if(!x){
        x=newnode();
        t[x].get(c);
        return ;
    }
    if(c.d[now]<=t[x].d[now]) insert(t[x].ch[0],c,now^1);
    else insert(t[x].ch[1],c,now^1);
    pushup(x);check(x,now);
}

inline int dis(int x,int X,int Y){
    return max(t[x].Min[0]-X,0)+max(X-t[x].Max[0],0)+max(t[x].Min[1]-Y,0)+max(Y-t[x].Max[1],0);
}

void query(int x,int X,int Y){
    int L=abs(t[x].d[0]-X)+abs(t[x].d[1]-Y),d[2],k;
    d[0]=t[x].ch[0]?dis(t[x].ch[0],X,Y):inf;
    d[1]=t[x].ch[1]?dis(t[x].ch[1],X,Y):inf;
    ans=min(ans,L);k=d[0]>d[1];
    if(d[k]<ans) query(t[x].ch[k],X,Y);
    if(d[k^1]<ans) query(t[x].ch[k^1],X,Y);
}

int main()
{
    n=read(),m=read();tot=n;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].d[0]=read(),a[i].d[1]=read();
    rt=build(1,n,0);
    int op,x,y;
    while(m--){
        op=read(),x=read(),y=read();
        if(op==1) insert(rt,(node){x,y},0);
        else ans=inf,query(rt,x,y),printf("%d
",ans); 
    }
    return 0;
}

(CDQ) 分治解法：

我们做 (4) 次 (CDQ) 分治，每次只计算左下角的点，将问题转换成在树状数组上查最小。

(Code Below:)

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int maxn=500000+10;
const int maxm=1000000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,X,Y,c[maxm],ans[maxn],cnt,tot;

struct Query{
    int op,x,y,id;
}p[maxn<<1],q[maxn<<1],t[maxn<<1];

namespace IO{
    #define gc() (iS==iT?(iT=(iS=ibuff)+fread(ibuff,1,SIZ,stdin),(iS==iT?EOF:*iS++)):*iS++)
    const int SIZ=1<<21|1;
    char *iS,*iT,ibuff[SIZ],obuff[SIZ],*oS=obuff,*oT=oS+SIZ-1,fu[110],c;int fr;
    inline void out(){
        fwrite(obuff,1,oS-obuff,stdout);
        oS=obuff;
    }
    template <class T>
    inline void read(T &x){
        x=0;T y=1;
        for(c=gc();(c>'9'||c<'0')&&c!='-';c=gc());
        c=='-'?y=-1:x=(c&15);
        for(c=gc();c>='0'&&c<='9';c=gc()) x=x*10+(c&15);
        x*=y;
    }
    template <class T>
    inline void print(T x,char text='
'){
        if(x<0) *oS++='-',x*=-1;
        if(x==0) *oS++='0';
        while(x) fu[++fr]=x%10+'0',x/=10;
        while(fr) *oS++=fu[fr--];
        *oS++=text;out();
    }
}

inline void update(int x,int y){
    for(;x<=Y;x+=lowbit(x)) c[x]=max(c[x],y);
}

inline int query(int x){
    int ans=0;
    for(;x;x-=lowbit(x)) ans=max(ans,c[x]);
    return ans;
}

inline void clear(int x){
    for(;x<=Y;x+=lowbit(x)){
        if(c[x]) c[x]=0;
        else break;
    }
}

void CDQ(int l,int r){
    if(l==r) return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid);CDQ(mid+1,r);
    int u=l,v=mid+1,j=l,tmp;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)
        if(q[i].op==2){
            for(;j<=mid&&q[j].x<=q[i].x;j++)
                if(q[j].op==1) update(q[j].y,q[j].x+q[j].y);
            tmp=query(q[i].y);
            if(tmp) ans[q[i].id]=min(ans[q[i].id],q[i].x+q[i].y-tmp);
        }
    for(int i=l;i<j;i++)
        if(q[i].op==1) clear(q[i].y);
    j=l;
    while(u<=mid&&v<=r){
        if(q[u].x<=q[v].x) t[j++]=q[u++];
        else t[j++]=q[v++];
    }
    while(u<=mid) t[j++]=q[u++];
    while(v<=r) t[j++]=q[v++];
    for(int i=l;i<=r;i++) q[i]=t[i];
}

void del(){
    int X=0,Y=0,cnt=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        if(q[i].op==2) X=max(X,q[i].x),Y=max(Y,q[i].y);
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        if(q[i].x<=X&&q[i].y<=Y) q[++cnt]=q[i];
    CDQ(1,cnt);  
}

int main()
{
    IO::read(n),IO::read(m);
    int op,x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        IO::read(x),IO::read(y);
        x++;y++;
        p[++tot]=(Query){1,x,y,0};
        X=max(X,x);Y=max(Y,y);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        IO::read(op),IO::read(x),IO::read(y);
        x++;y++;
        if(op==1) p[++tot]=(Query){1,x,y,0};
        else p[++tot]=(Query){2,x,y,++cnt};
        X=max(X,x);Y=max(Y,y);
    }
    X++;Y++;
    for(int i=1;i<=cnt;i++) ans[i]=inf;
    for(int i=1;i<=tot;i++) q[i]=p[i];
    del();
    for(int i=1;i<=tot;i++) q[i]=p[i],q[i].x=X-p[i].x;
    del();
    for(int i=1;i<=tot;i++) q[i]=p[i],q[i].y=Y-p[i].y;
    del();
    for(int i=1;i<=tot;i++) q[i]=p[i],q[i].x=X-p[i].x,q[i].y=Y-p[i].y;
    del();
    for(int i=1;i<=cnt;i++) IO::print(ans[i]);
    return 0;
}

2、[CQOI2016]K远点对

我们用一个小根堆来计算第 (k) 小。

(Code Below:)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,k,D,rt,cnt;
priority_queue<ll,vector<ll>,greater<ll> > pq;

struct node{
    int d[2];
}a[maxn];

struct KD_Tree{
    int d[2],Max[2],Min[2],ch[2],siz;
    inline void init(){
        d[0]=d[1]=Max[0]=Max[1]=Min[0]=Min[1]=ch[0]=ch[1]=siz=0;
    }
    inline void get(node a){
        Max[0]=Min[0]=d[0]=a.d[0];
        Max[1]=Min[1]=d[1]=a.d[1];
    }
}t[maxn];
inline bool operator < (const node &a,const node &b){
    return a.d[D]<b.d[D];
}

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

inline void update(int x,int y){
    t[x].Max[0]=max(t[x].Max[0],t[y].Max[0]);
    t[x].Max[1]=max(t[x].Max[1],t[y].Max[1]);
    t[x].Min[0]=min(t[x].Min[0],t[y].Min[0]);
    t[x].Min[1]=min(t[x].Min[1],t[y].Min[1]);
}

inline void pushup(int x){
    t[x].siz=t[t[x].ch[0]].siz+t[t[x].ch[1]].siz+1;
    if(t[x].ch[0]) update(x,t[x].ch[0]);
    if(t[x].ch[1]) update(x,t[x].ch[1]);
}

int build(int l,int r,int now){
    int mid=(l+r)>>1,x=++cnt;D=now;
    nth_element(a+l,a+mid,a+r+1);
    t[x].get(a[mid]);
    if(l<mid) t[x].ch[0]=build(l,mid-1,now^1);
    if(mid<r) t[x].ch[1]=build(mid+1,r,now^1);
    pushup(x);return x;
}

inline ll dis(int x,int X,int Y){
    return max(1ll*(t[x].Min[0]-X)*(t[x].Min[0]-X),1ll*(t[x].Max[0]-X)*(t[x].Max[0]-X))
    +max(1ll*(t[x].Min[1]-Y)*(t[x].Min[1]-Y),1ll*(t[x].Max[1]-Y)*(t[x].Max[1]-Y));
}

inline ll dist(int x,int X,int Y){
    return 1ll*(t[x].d[0]-X)*(t[x].d[0]-X)+1ll*(t[x].d[1]-Y)*(t[x].d[1]-Y);
}

void query(int x,int X,int Y){
    ll L=dist(x,X,Y),d[2];int k;
    d[0]=t[x].ch[0]?dis(t[x].ch[0],X,Y):-inf;
    d[1]=t[x].ch[1]?dis(t[x].ch[1],X,Y):-inf;
    if(L>pq.top()) pq.pop(),pq.push(L);
    k=d[1]>d[0];
    if(d[k]>pq.top()) query(t[x].ch[k],X,Y);
    if(d[k^1]>pq.top()) query(t[x].ch[k^1],X,Y);
}

int main()
{
    n=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].d[0]=read(),a[i].d[1]=read();
    rt=build(1,n,0);
    for(int i=1;i<=k*2;i++) pq.push(0ll);
    for(int i=1;i<=n;i++) query(rt,a[i].d[0],a[i].d[1]);
    printf("%lld
",pq.top());
    return 0;
}

3、[国家集训队]JZPFAR

我们在 (K) 远点对的基础上再记一个 (minid)，一样暴力查询。

(Code Below:)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pli pair<ll,int>
#define mp make_pair
#define F first
#define S second
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,D,rt,cnt;
priority_queue<pli,vector<pli>,greater<pli> > pq;

struct node{
    int d[2],id;
}a[maxn];

struct KD_Tree{
    int d[2],id,ID,Max[2],Min[2],ch[2],siz;
    inline void init(){
        d[0]=d[1]=id=ID=Max[0]=Max[1]=Min[0]=Min[1]=ch[0]=ch[1]=siz=0;
    }
    inline void get(node a){
        Max[0]=Min[0]=d[0]=a.d[0];
        Max[1]=Min[1]=d[1]=a.d[1];
        id=ID=a.id;
    }
}t[maxn];
inline bool operator < (const node &a,const node &b){
    return (a.d[D]!=b.d[D])?a.d[D]<b.d[D]:a.id>b.id;
}

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

inline void update(int x,int y){
    t[x].Max[0]=max(t[x].Max[0],t[y].Max[0]);
    t[x].Max[1]=max(t[x].Max[1],t[y].Max[1]);
    t[x].Min[0]=min(t[x].Min[0],t[y].Min[0]);
    t[x].Min[1]=min(t[x].Min[1],t[y].Min[1]);
}

inline void pushup(int x){
    t[x].siz=t[t[x].ch[0]].siz+t[t[x].ch[1]].siz+1;
    t[x].ID=min(t[x].ID,min(t[t[x].ch[0]].ID,t[t[x].ch[1]].ID));
    if(t[x].ch[0]) update(x,t[x].ch[0]);
    if(t[x].ch[1]) update(x,t[x].ch[1]);
}

int build(int l,int r,int now){
    int mid=(l+r)>>1,x=++cnt;D=now;
    nth_element(a+l,a+mid,a+r+1);
    t[x].get(a[mid]);
    if(l<mid) t[x].ch[0]=build(l,mid-1,now^1);
    if(mid<r) t[x].ch[1]=build(mid+1,r,now^1);
    pushup(x);return x;
}

inline ll dis(int x,int X,int Y){
    return max(1ll*(t[x].Min[0]-X)*(t[x].Min[0]-X),1ll*(t[x].Max[0]-X)*(t[x].Max[0]-X))
    +max(1ll*(t[x].Min[1]-Y)*(t[x].Min[1]-Y),1ll*(t[x].Max[1]-Y)*(t[x].Max[1]-Y));
}

inline ll dist(int x,int X,int Y){
    return 1ll*(t[x].d[0]-X)*(t[x].d[0]-X)+1ll*(t[x].d[1]-Y)*(t[x].d[1]-Y);
}

void query(int x,int X,int Y){
    ll L=dist(x,X,Y),d[2];int k;
    d[0]=t[x].ch[0]?dis(t[x].ch[0],X,Y):-inf;
    d[1]=t[x].ch[1]?dis(t[x].ch[1],X,Y):-inf;
    if((L>pq.top().F)||(L==pq.top().F&&t[x].id<-pq.top().S)) pq.pop(),pq.push(mp(L,-t[x].id));
    k=d[1]>d[0];
    if((d[k]>pq.top().F)||(d[k]==pq.top().F&&t[t[x].ch[k]].ID<-pq.top().S)) query(t[x].ch[k],X,Y);
    if((d[k^1]>pq.top().F)||(d[k^1]==pq.top().F&&t[t[x].ch[k^1]].ID<-pq.top().S)) query(t[x].ch[k^1],X,Y);
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].d[0]=read(),a[i].d[1]=read(),a[i].id=i;
    rt=build(1,n,0);
    m=read();
    int x,y,k;
    while(m--){
        x=read(),y=read(),k=read();
        for(int i=1;i<=k;i++) pq.push(mp(0ll,-inf));
        query(rt,x,y);
        printf("%d
",-pq.top().S);
        while(!pq.empty()) pq.pop();
    }
    return 0;
}

4、[SDOI2010]捉迷藏

最远点对最近点对问题，经典 (K-D Tree) 问题。不过最近点对要除去自己。

(Code Below:)

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,D,rt,ans=inf,ans1,ans2; 

struct node{
    int d[2];
}a[maxn];
inline bool operator < (const node &a,const node &b){
    return a.d[D]<b.d[D];
}

struct KD_Tree{
    int d[2],Max[2],Min[2],ch[2];
    inline void init(){
        d[0]=d[1]=Max[0]=Max[1]=Min[0]=Min[1]=ch[0]=ch[1]=0;
    }
    inline void get(node a){
        Max[0]=Min[0]=d[0]=a.d[0];
        Max[1]=Min[1]=d[1]=a.d[1];
    }
}t[maxn];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

inline void update(int x,int y){
    t[x].Max[0]=max(t[x].Max[0],t[y].Max[0]);
    t[x].Max[1]=max(t[x].Max[1],t[y].Max[1]);
    t[x].Min[0]=min(t[x].Min[0],t[y].Min[0]);
    t[x].Min[1]=min(t[x].Min[1],t[y].Min[1]);
}

inline void pushup(int x){
    if(t[x].ch[0]) update(x,t[x].ch[0]);
    if(t[x].ch[1]) update(x,t[x].ch[1]);
}

int build(int l,int r,int now){
    int mid=(l+r)>>1,x=mid;D=now;
    nth_element(a+l,a+mid,a+r+1);
    t[x].init();t[x].get(a[mid]);
    if(l<mid) t[x].ch[0]=build(l,mid-1,now^1);
    if(mid<r) t[x].ch[1]=build(mid+1,r,now^1);
    pushup(x);return x;
}

inline int maxdis(int x,int X,int Y){
    return max(abs(t[x].Min[0]-X),abs(t[x].Max[0]-X))+max(abs(t[x].Min[1]-Y),abs(t[x].Max[1]-Y));
}

inline int mindis(int x,int X,int Y){
    return max(t[x].Min[0]-X,0)+max(X-t[x].Max[0],0)+max(t[x].Min[1]-Y,0)+max(Y-t[x].Max[1],0);
}

inline int dis(int x,int X,int Y){
    return abs(t[x].d[0]-X)+abs(t[x].d[1]-Y);
}

void query_max(int x,int X,int Y){
    int L=dis(x,X,Y),d[2],k;
    d[0]=t[x].ch[0]?maxdis(t[x].ch[0],X,Y):-inf;
    d[1]=t[x].ch[1]?maxdis(t[x].ch[1],X,Y):-inf;
    ans1=max(ans1,L);k=d[1]>d[0];
    if(d[k]>ans1) query_max(t[x].ch[k],X,Y);
    if(d[k^1]>ans1) query_max(t[x].ch[k^1],X,Y);
}

void query_min(int x,int X,int Y){
    int L=dis(x,X,Y),d[2],k;
    d[0]=t[x].ch[0]?mindis(t[x].ch[0],X,Y):inf;
    d[1]=t[x].ch[1]?mindis(t[x].ch[1],X,Y):inf;
    if(L) ans2=min(ans2,L);k=d[1]<d[0];
    if(d[k]<ans2) query_min(t[x].ch[k],X,Y);
    if(d[k^1]<ans2) query_min(t[x].ch[k^1],X,Y);
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].d[0]=read(),a[i].d[1]=read();
    rt=build(1,n,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans1=0;ans2=inf;
        query_max(rt,a[i].d[0],a[i].d[1]);
        query_min(rt,a[i].d[0],a[i].d[1]);
        ans=min(ans,ans1-ans2);
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

5、Generating Synergy

带下传标记的 (K-D Tree)。修改的时候暴力修改，查询的时候要将其祖先的标记下传。

(Code Below:)

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,D,rt,ans=inf,ans1,ans2; 

struct node{
    int d[2];
}a[maxn];
inline bool operator < (const node &a,const node &b){
    return a.d[D]<b.d[D];
}

struct KD_Tree{
    int d[2],Max[2],Min[2],ch[2];
    inline void init(){
        d[0]=d[1]=Max[0]=Max[1]=Min[0]=Min[1]=ch[0]=ch[1]=0;
    }
    inline void get(node a){
        Max[0]=Min[0]=d[0]=a.d[0];
        Max[1]=Min[1]=d[1]=a.d[1];
    }
}t[maxn];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

inline void update(int x,int y){
    t[x].Max[0]=max(t[x].Max[0],t[y].Max[0]);
    t[x].Max[1]=max(t[x].Max[1],t[y].Max[1]);
    t[x].Min[0]=min(t[x].Min[0],t[y].Min[0]);
    t[x].Min[1]=min(t[x].Min[1],t[y].Min[1]);
}

inline void pushup(int x){
    if(t[x].ch[0]) update(x,t[x].ch[0]);
    if(t[x].ch[1]) update(x,t[x].ch[1]);
}

int build(int l,int r,int now){
    int mid=(l+r)>>1,x=mid;D=now;
    nth_element(a+l,a+mid,a+r+1);
    t[x].init();t[x].get(a[mid]);
    if(l<mid) t[x].ch[0]=build(l,mid-1,now^1);
    if(mid<r) t[x].ch[1]=build(mid+1,r,now^1);
    pushup(x);return x;
}

inline int maxdis(int x,int X,int Y){
    return max(abs(t[x].Min[0]-X),abs(t[x].Max[0]-X))+max(abs(t[x].Min[1]-Y),abs(t[x].Max[1]-Y));
}

inline int mindis(int x,int X,int Y){
    return max(t[x].Min[0]-X,0)+max(X-t[x].Max[0],0)+max(t[x].Min[1]-Y,0)+max(Y-t[x].Max[1],0);
}

inline int dis(int x,int X,int Y){
    return abs(t[x].d[0]-X)+abs(t[x].d[1]-Y);
}

void query_max(int x,int X,int Y){
    int L=dis(x,X,Y),d[2],k;
    d[0]=t[x].ch[0]?maxdis(t[x].ch[0],X,Y):-inf;
    d[1]=t[x].ch[1]?maxdis(t[x].ch[1],X,Y):-inf;
    ans1=max(ans1,L);k=d[1]>d[0];
    if(d[k]>ans1) query_max(t[x].ch[k],X,Y);
    if(d[k^1]>ans1) query_max(t[x].ch[k^1],X,Y);
}

void query_min(int x,int X,int Y){
    int L=dis(x,X,Y),d[2],k;
    d[0]=t[x].ch[0]?mindis(t[x].ch[0],X,Y):inf;
    d[1]=t[x].ch[1]?mindis(t[x].ch[1],X,Y):inf;
    if(L) ans2=min(ans2,L);k=d[1]<d[0];
    if(d[k]<ans2) query_min(t[x].ch[k],X,Y);
    if(d[k^1]<ans2) query_min(t[x].ch[k^1],X,Y);
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].d[0]=read(),a[i].d[1]=read();
    rt=build(1,n,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans1=0;ans2=inf;
        query_max(rt,a[i].d[0],a[i].d[1]);
        query_min(rt,a[i].d[0],a[i].d[1]);
        ans=min(ans,ans1-ans2);
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}