题目
(S(i,j))表示第二类斯特林数，求：
[f(n)=sum _{i=0}^nsum _{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!
]
分析
公式推理很简单，关键是用到了第二类斯特林数的通项公式和组合数展开的方法。
[egin{aligned}
f(n)&=sum _{i=0}^nsum _{j=0}^iS(i,j)*2^j*j! \
&=sum _{i=0}^nsum _{j=0}^n frac{1}{j!}sum _{k=0}^j (-1)^kC_j^k(j-k)^i*2^j*j! \
&=sum _{j=0}^n frac{1}{j!}*2^j*j!sum _{j=0}^nsum _{k=0}^j (-1)^k frac{j!}{k!(j-k)!} (j-k)^i \
&=sum _{j=0}^n 2^j*j!sum _{k=0}^jfrac{(-1)^k}{k!}sum _{i=0}^nfrac{(j-k)^i}{(j-k)!} \
&=sum _{j=0}^n 2^j*j!sum _{k=0}^jfrac{(-1)^k}{k!}frac{(j-k)^{n+1}-1}{(j-k)!(j-k-1)} \
end{aligned}
]
令：
[egin{aligned}
B(x)=frac{(-1)^x}{x!} \
C(x)=frac{x^{n+1}-1}{x!(x-1)}
end{aligned}
]
则有：
[egin{aligned}
f(n)=sum _{j=0}^n 2^j*j!sum _{k=0}^jB(k)C(k-j)
end{aligned}
]
一个卷积的形式，直接用NTT求解即可。这里要注意的是，(C(0)=1)，因为我们在这里定义(0^0=1)。
代码
NTT写起来很简单，但有几个地方容易错。一定要注意把(n)化成整二进制的时候，(M)要大于(2n)，尽管(n)可能本身是(2)的整数次幂。例如(n=1)，这时(M)不能仅仅取到(2)，而要取到(4)。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long giant;
const giant q=998244353;
const giant g=3;
const giant ig=332748118;
giant read() {
giant x=0,f=1;
char c=getchar();
for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
const giant maxn=(1<<18)+1;
const giant maxj=19;
giant a[maxn],b[maxn],c[maxn],M,xj,f[maxn],wn[maxj][2];
giant mi(giant x,giant y) {
giant ret=1;
while (y) {
if (y&1) (ret*=x)%=q;
y>>=1,(x*=x)%=q;
}
return ret;
}