损失函数

损失函数用来估量预测值和真实值的不一致程度。损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子：

前面的均值函数表示的是经验风险函数，L代表的是损失函数，后面的ΦΦ是正则化项（regularizer）或者叫惩罚项（penalty term），它可以是L1，也可以是L2，或者其他的正则函数。

一、对数损失函数（逻辑回归）

在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等等。而逻辑回归并没有求似然函数的极值，而是把极大化当做是一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数（即max F(y, f(x)) —> min -F(y, f(x)))。从损失函数的视角来看，它就成了log损失函数了。

二、平方损失函数（最小二乘法）

最小二乘法是线性回归的一种，OLS将问题转化成了一个凸优化问题。在线性回归中，它假设样本和噪声都服从高斯分布（为什么假设成高斯分布呢？其实这里隐藏了一个小知识点，就是中心极限定理，可以参考【central limit theorem】），最后通过极大似然估计（MLE）可以推导出最小二乘式子。

最小二乘的基本原则是：最优拟合直线应该是使各点到回归直线的距离和最小的直线，即平方和最小。换言之，OLS是基于距离的，而这个距离就是我们用的最多的欧几里得距离。为什么它会选择使用欧式距离作为误差度量呢（即Mean squared error， MSE），主要有以下几个原因：

• 简单，计算方便；
• 欧氏距离是一种很好的相似性度量标准；
• 在不同的表示域变换后特征性质不变。

平方损失（Square loss）的标准形式如下：

当样本个数为n时，此时的损失函数变为：

通常会使用均方差（MSE）作为一项衡量指标，公式如下：

三、指数损失函数（Adaboost）

 指数损失函数（exp-loss）的标准形式如下：

在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：

四、hinge损失函数（SVM）

hinge损失函数和SVM是息息相关的：

五、绝对值损失函数

六、0-1损失函数