求逆元

求 7 关于 26 的逆元！

扩展的欧几里得算法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//欧几里得函数
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d) {
        if (!b) {
                d = a, x = 1, y = 0;
        } else {
                exgcd(b, a % b, y, x, d);
                y -= x * (a / b);
        }
}
int inv(int t, int p) {                  //返回t对p的逆元
        int d, x, y;
        exgcd(t, p, x, y, d);
        return (x % p + p) % p;        //x可能为负，也可能过大
}

int main() {
        int m = 7, n = 26;
        printf("%d", inv(m, n));
        return 0 ;
}

或者

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
int getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    int x,y;
    int d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}
int main() {
        int m = 7, n = 26;
        printf("%d", getInv(m, n));
        return 0 ;
}　

手算　　

方法1（辗转相除法）

求7关于26的逆元，即 7 ^-1 

设 7^-1 为 X，即7 * X = 1 mod 26 ，求 X 即可

26 / 7 = 3  余 5

7 / 5 = 1 余 2

5 / 2 = 2 余 1

---

则：

1 = 5 - 2 * 2

1 = 5 - 2 * (7 - 5 * 1) = 3 * 5 - 2 * 7

1 = 3 * (26 - 3 * 7) - 2 * 7=  3 * 26 - 11 * 7

故 7^-1  = -11，由于 -11 不在Z_q^*中，故  7^-1  = 26 - 11 = 15

方法2

参考：链接

原理：

首先对余数进行辗转相除：
N = A * a0 + r0
A = r0 * a1 + r1
r0 = r1 * a2 + r2
r1 = r2 * a3 + r3
…
rn-2 = rn-1 * an + rn
rn-1 = rn * an+1 + 0

对上面的商数逆向排列（不含余数为0的商数）：

其中：

b-1 = 1
b0 = an
bi = an-1 * bi-1 + bi-2
商个数为偶数，则bn即为所求的逆元B；
商个数为奇数，则N-bn即为所求的逆元B

求7关于26的逆元：

辗转相除法：

26 = 3 * 7 + 5

7 = 1 * 5  + 2

5 = 2 * 2 + 1

---

因为商的个数为奇数，故 7^-1 = 26 - 11 = 15

方法3（Bezout恒等式）

原理：用矩阵行初等变换的方法求Bezout，进而求逆元

参考：链接