常见算法-多项式计算(1)

最近在学算法，做做笔记，便于以后温习。

学习资源：《常用算法程序集》

一。多项式求值

1.一维多项式

问题描述：计算形如

的多项式在指定点x处的函数值。

问题分析：首先，将多项式表述成如下嵌套形式：

然后从里往外一层一层地进行计算。其递推计算公式如下：

最后得到的u即多项式值。

下面，通过代码计算此多项式：

#include <stdio.h>

/*  polynome_one函数介绍
 功能：计算并返回一维多项式在指定点x处的函数值
 参数：           int n:多项式的项数
              double x:指定的自变量的值
 double *modulus_array:存放n－1次多项式的n个系数的数组
 */
double polynome_one(int n, double x, double *modulus_array)
{
    int i;
    double result_;     //利用推导出的递推公式进行计算
    result_ = modulus_array[n-1];
    
    for (i=n-2; i>=0; i--)
    {
        result_ = result_ * x + modulus_array[i];
    }
    
    return result_;  //返回多项式值
}
int main()
{
    int i;
    double modulus_array[7] = {-20.0, 7.0, -7.0, 1.0, 3.0, -5.0, 2.0}; //初始化系数数组
    double x[6] = {0.9, -0.9, 1.1, -1.1, 1.3, -1.3};  //初始化自变量x数组
    
    for (i=0; i<=5; i++) //打印每次x对应的结果。 
    {
        printf("x(%d) = %5.2lf   p(x(%d)) = %13.7e
", i, x[i], i, polynome_one(7, x[i], modulus_array));
    }
    return 0;
}

//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )

/* 
 ****************结果*******************
 x(0) =  0.90   p(x(0)) = -1.8562268e+01
 x(1) = -0.90   p(x(1)) = -2.6715368e+01
 x(2) =  1.10   p(x(2)) = -1.9556128e+01
 x(3) = -1.10   p(x(3)) = -2.1513028e+01
 x(4) =  1.30   p(x(4)) = -2.0875732e+01
 x(5) = -1.30   p(x(5)) = -6.3404320e+00
*/

2.二维多项式

问题描述： 计算形如的二维多项式在给定点（x，y）处的函数值

问题分析： 将二维多项式变形如下：

令：

则计算si的递推公式如下：

最后计算得到的u即si

最后再将所有的si累加，即可得到最后的解。

下面通过代码计算此多项式

其中，系数矩阵为：

#include <stdio.h>

/*  polynome_two函数介绍
 功能：计算并返回二维多项式在指定点x处的函数值
 参数：           int n:自变量y的最高次数为n－1
                 int m:自变量x的最高次数为m－1
              double x:指定的自变量x的值
              double y:指定的自变量y的值
 double *modulus_array:存放二维多项式的系数
 */
double polynome_two(double *modulus_array, int m, int n, double x, double y)
{
    int i, j;
    double result_, each_si, now_xi;
    result_ = 0.0;
    now_xi = 1.0;
    
    for (i=0; i<=m-1; i++)
    {
        each_si = modulus_array[i*n+n-1] * now_xi;
        for (j=n-2; j>=0; j--)
        {
            each_si = each_si * y + modulus_array[i*n+j] * now_xi;
        }
        
        result_ += each_si;
        now_xi = now_xi * x;
    }
    return  result_;
}
int main()
{
    double result_;
    double modulus_array[4][5] = {{1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0},
                                {6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0},
                                {11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0},
                                {16.0, 17.0, 18.0, 19.0, 20.0}};
    
    result_ = polynome_two(modulus_array, 4, 5, 0.6, -1.3);
    printf("p(0.6, -1.3) = %13.7e
", result_);
    
}

//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )

/* 
 ****************结果*******************

p(0.6, -1.3) = 3.9665544e+01

*/

3.复数多项式

问题描述：计算形如

的复数多项式在给定复数z时的值。

问题分析：和上面的多项式分析一样，嵌套进行，就不多重复了。关键在于cmul对每组复数相乘的计算过程。

下面通过代码，计算

在z＝1+j时的函数值

#include <stdio.h>

/*  cuml函数介绍
 功能：计算两个复数乘积   即(a+bj)*(c+dj) = e+fj
 参数: 对应复数中的各个值
 结果: 对e，f分别计算求得值
*/

void cmul(double a, double b, double c, double d, double *e, double *f)
{
    double p, q, s;
    p = a * c;
    q = b * d;
    s = (a+b) * (c+d);
    
    *e = p - q;
    *f = s - p - q;
}

/*  polynome_z函数介绍
 功能：计算复数多项式在给定复数z(x+yj)时的函数值
 参数: double *modulus_r: 存放多项式的实部
      double *modulus_r: 存放多项式的虚部
               double x: 给定复数z的实部
               double y: 给定复数z的虚部
              double *u: 返回多项式值的实部
              double *v: 返回多项式值的虚部
 */
void polynome_z(double *modulus_r, double *modulus_i, int n, double x, double y, double *u, double *v)
{
    int i;
    double now_r, now_i;
    double p, q;
    now_r = modulus_r[n-1];
    now_i = modulus_i[n-1];
    for (i=n-2; i>=0; i--)
    {
        cmul(now_r, now_i, x, y, &p, &q);
        now_r = p + modulus_r[i];
        now_i = q +  modulus_i[i];
    }
    
    *u = now_r;
    *v = now_i;
}


int main()
{
    double x, y, u, v;
    double modulus_r[4] = {2.0, 2.0, 1.0, 2.0};
    double modulus_i[4] = {1.0, 1.0, 1.0, 2.0};
    
    x = 1.0;
    y = 1.0;
    polynome_z(modulus_r, modulus_i, 4, x, y, &u, &v);
    printf("p(1.0+j) = %10.7lf+%10.7lfj", u, v);
    
}

//注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )

//计算结果：  p(1.0+j) = -7.0000000+ 6.0000000j