模型评估

在机器学习的算法评估中，尤其是分类算法评估中，我们经常听到精确率(precision)与召回率(recall)，Roc曲线与PR曲线这些概念，那这些概念到底有什么用处呢？

首先，我们需要搞清楚几个拗口的概念。

混淆矩阵

• 真阳性（True positive） — (TP) ： 原本呈阳性患病的病人，实诊为阳性。
• 假阴性（False negative） — (FN) ： 原本呈阳性患病的病人，实诊为阴性。
• 假阳性（False positive） — (FP) ： 原本呈阴性不患病的病人，实诊为阳性。
• 真阴性（Ture negative） — (TN) ： 原本呈阴性不患病的病人，实诊为阴性。

四种概率形式：

常用指标

精确率(Precision)

又名查准率，表示被分为正例的示例中实际为正例的比例。严格的数学定义如下：

[P = frac{TP}{TP + FP } ]

召回率(Recall)

又名敏感度、灵敏度（sensitive）、查全率，表示的是所有正例中被分对的比例，衡量了分类器对正例的识别能力。严格的数学定义如下：

[R = frac{TP}{TP + FN } ]

特异度(specificity)

表示的是所有负例中被分对的比例，衡量了分类器对负例的识别能力。即负类的召回率，严格的数学定义如下：

[S = frac{TN}{TN + FP } ]

F1值

有时也用一个F1值来综合评估精确率和召回率，它是精确率和召回率的调和均值。当精确率和召回率都高时,F1值也会高。严格的数学定义如下：

[egin{align} frac{2}{F_1} &= frac{1}{P} + frac{1}{R} \ F_1 &= frac{2PR}{P+R} end{align} ]

有时候我们对精确率和召回率并不是一视同仁，比如有时候我们更加重视精确率。我们用一个参数(eta)来度量两者之间的关系。如果(eta>1), 召回率有更大影响，如果(eta<1),精确率有更大影响。当(eta=1)的时候，精确率和召回率影响力相同，和F1形式一样。含有度量参数(eta)的F1我们记为(F_eta), 严格的数学定义如下：

[F_eta = frac{(1+eta^2)*P*R}{eta^2*P + R} ]

ROC曲线

ROC曲线的横坐标为假阳性率（False Positive Rate， FPR)； 纵坐标为真阳性率（True Positive Rate， TPR） 。

• P是真实的正样本的数量
• N是真实的负样本的数量
• TP是P个正样本中被分类器预测为正样本的个数
• FP是N个负样本中被分类器预测为正样本的个数

ROC曲线有一个特点， 当正负样本的分布发生变化时， ROC曲线的形状能够基本保持不变， 而P-R曲线的形状一般会发生较剧烈的变化。ROC曲线的适用场景更多， 被广泛用于排序、 推荐、 广告等领域。 但需要注意的是， 选择P-R曲线还是ROC曲线是因实际问题而异的， 如果研究者希望更多地看到模型在特定数据集上的表现， P-R曲线则能够更直观地反映其性能。

1-特异度: (FPR)

另一个是1-特异度(false positive rate, FPR)，它是实际负例中，错误的识别为正例的负例比例。严格的数学定义如下：

[FPR = 1 - {frac{TN}{FP + TN }} = frac{FP}{FP + TN }　= frac{FP}{N} ]

灵敏度(TPR)

此外还有灵敏度(true positive rate ,TPR)，它是所有实际正例中，正确识别的正例比例，它和召回率的表达式没有区别。严格的数学定义如下：

[TPR = frac{TP}{TP + FN } = frac{TP}{P} ]

我们熟悉了精确率， 召回率和特异性，以及TPR和FPR，后面的ROC曲线和PR曲线就好了解了。

ROC曲线:

• receiver operating characteristic
• 以FPR为x轴，灵敏度(TPR)为y轴，我们就直接得到了ROC曲线。
• FPR 代表将负例错分为正例的概率， TPR 代表能将正例分对的概率。FPR越小， TPR越高，我们的模型和算法就越高效。也就是画出来的ROC曲线越靠近左上越好。
• 如下图左图所示， ROC曲线下方的面积越大越大，则模型越优。
• 所以有时候我们用ROC曲线下的面积，即AUC（Area Under Curve）值来作为算法和模型好坏的标准。

PR曲线

• 以召回率为x轴，以精确率为y轴，我们就得到了PR曲线。
• 仍然从精确率和召回率的定义可以理解，精确率越高，召回率越高，我们的模型和算法就越高效。
• 也就是画出来的PR曲线越靠近右上越好。

例2：

其P-R曲线上的一个点代表着， 在某一阈值下， 模型将大于该阈值的结果判定为正样本，小于该阈值的结果判定为负样本， 此时返回结果对应的召回率和精确率。 整条P-R曲线是通过将阈值从高到低移动而生成的。

其中实线代表模型A的P-R曲线， 虚线代表模型B的P-R曲线。 原点附近代表当阈值最大时模型的精确率和召回率 。由图可见， 当召回率接近于0时， 模型A的精确率为0.9， 模型B的精确率是1，这说明模型B得分前几位的样本全部是真正的正样本， 而模型A即使得分最高的几个样本也存在预测错误的情况。 并且， 随着召回率的增加， 精确率整体呈下降趋势。 但是， 当召回率为1时， 模型A的精确率反而超过了模型B。 这充分说明， 只用某个点对应的精确率和召回率是不能全面地衡量模型的性能， 只有通过P-R曲线的整体表现， 才能够对模型进行更为全面的评估。

RMSE

均方根误差（Root Mean Square Error）

[R M S E=sqrt{frac{sum_{i=1}^{n}left(y_{i}-hat{y}_{i} ight)^{2}}{n}} ]

其中， (y_i)是第(i)个样本点的真实值， (hat{y}_{i})是第(i)个样本点的预测值， (n)是样本点的个数

一般情况下， RMSE能够很好地反映回归模型预测值与真实值的偏离程度。 但在实际问题中， 如果存在个别偏离程度非常大的离群点（ Outlier） 时， 即使离群点数量非常少， 也会让RMSE指标变得很差。

MAPE

平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percent Error， MAPE） ， 它定义为

[M A P E=sum_{i=1}^{n}left|frac{y_{i}-hat{y}_{i}}{y_{i}} ight| imes frac{100}{n} ]

相比RMSE， MAPE相当于把每个点的误差进行了归一化， 降低了个别离群点带来的绝对误差的影响 。

模型评估

Holdout检验

Holdout 检验是最简单也是最直接的验证方法， 它将原始的样本集合随机划分成训练集和验证集两部分。 比方说， 对于一个点击率预测模型， 我们把样本按照70%～30% 的比例分成两部分， 70% 的样本用于模型训练； 30% 的样本用于模型验证， 包括绘制ROC曲线、 计算精确率和召回率等指标来评估模型性能。

Holdout 检验的缺点很明显， 即在验证集上计算出来的最后评估指标与原始分组有很大关系。 为了消除随机性， 研究者们引入了“交叉检验”的思想。

交叉验证

k-fold交叉验证： 首先将全部样本划分成k个大小相等的样本子集； 依次遍历这k个子集， 每次把当前子集作为验证集， 其余所有子集作为训练集， 进行模型的训练和评估； 最后把k次评估指标的平均值作为最终的评估指标。 在实际实验中， k经常取10。

留一验证： 每次留下1个样本作为验证集， 其余所有样本作为测试集。 样本总数为n， 依次对n个样本进行遍历， 进行n次验证， 再将评估指标求平均值得到最终的评估指标。 在样本总数较多的情况下， 留一验证法的时间开销极大。 因此它的时间开销更是远远高于留一验证， 故而很少在实际工程中被应用。

通过反复的交叉验证，用损失函数来度量得到的模型的好坏，最终我们可以得到一个较好的模型。那这三种情况，到底我们应该选择哪一种方法呢？一句话总结，如果我们只是对数据做一个初步的模型建立，不是要做深入分析的话，简单交叉验证就可以了。否则就用K折交叉验证。在样本量少的时候，使用K折交叉验证的特例留一交叉验证。

自助法（Bootstrap）

不管是Holdout检验还是交叉检验， 都是基于划分训练集和测试集的方法进行模型评估的。 然而， 当样本规模比较小时， 将样本集进行划分会让训练集进一步减小， 这可能会影响模型训练效果。 有没有能维持训练集样本规模的验证方法呢？ 自助法可以比较好地解决这个问题。

自助法是基于自助采样法的检验方法。 对于总数为n的样本集合， 进行n次有放回的随机抽样， 得到大小为n的训练集。 n次采样过程中， 有的样本会被重复采样， 有的样本没有被抽出过， 将这些没有被抽出的样本作为验证集， 进行模型验证， 这就是自助法的验证过程。

[egin{aligned} lim _{n ightarrow infty}left(1-frac{1}{n} ight)^{n}=&lim _{n ightarrow infty} frac{1}{left(1+frac{1}{n-1} ight)^{n}} & \ =& frac{1}{lim _{n ightarrow infty}left(1+frac{1}{n-1} ight)^{n-1}} cdot frac{1}{lim _{n ightarrow infty}left(1+frac{1}{n-1} ight)} \ =&frac{1}{mathrm{e}} approx 0.368 end{aligned} ]

当样本数很大时， 大约有36.8%的样本从未被选择过， 可作为验证集 。

由于我们的训练集有重复数据，这会改变数据的分布，因而训练结果会有估计偏差，因此，此种方法不是很常用，除非数据量真的很少，比如小于20个。