leetcode-最长上升子序列LIS

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给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

第一种方法：动态规划。

求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。

　　前1个数 d(1)=1 子序列为2；

　　前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7

　　前3个数 在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1

　　前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5

　　前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6

　　前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4

　　前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3

　　前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8

　　前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9

　　d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5

　　总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。

public int longestIncreasingSubsequence(int[] nums) {
          if(nums.length==0)return 0;
        int[] d=new int[nums.length];
        int max=0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            d[i]=1;  //当nums[i]之前没有比nums[i]更小的数，d[i]=1.每次重新开始计数
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[j]<nums[i]&&(1+d[j]>d[i]))d[i]=1+d[j];//num[j]<num[i]保证了递增的操作，因此只需要不断比较并更新d[i]
            }
            if(d[i]>max)max=d[i];
        }
        return max;
    }

第二种方法：有以下序列A[]=3 1 2 6 4 5 10 7，求LIS长度。

核心思想是不断的替换，遍历nums数组，通知保证arr数组一定是一个递增的数组（因此可以使用二分法）

如果nums[i]比arr数组最右边的数字还要大，则将Nums[i]直接添加到arr数组的后边，否则nums[i]将会插入到arr[i]

中，使用二分查找法。

这里的二分查找是为了寻找第一个大于num[i]的数字。使用的是upper_bound。

如图所示

 代码如下：

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if(nums.length==0)return 0;
        int max=0,next;
        int[] arr=new int[nums.length];
        arr[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            next=put(arr,0,max,nums[i]);    //从数组中的第二个数开始
            arr[next]=nums[i];                   
            if(max<next)max=next;
        }
        return max+1;            
    }
    //找索引的方法，比如【2,1,4,5,3,6】找到nums[1]的索引为0，nums[2]=4直接添加到arr[2]中，nums[3]=5同理，nums[4]=3会把[1,4,5]中的4替换掉。
    public int put(int[] a,int l,int r,int key){
        if(a[r]<key)return r+1;
        int mid;
        while(l<=r){
            if(l==r)return l;
            mid=l+(r-l)/2;
            //返回第一个大于key的索引
            if(a[mid]<key)l=mid+1;
            else r=mid;
        }
        return l;
    }
}