51nod 1197 字符串的数量 V2(V1)

题目大意

用N个不同的字符（编号1 – N），组成一个字符串，有如下要求：

(1) 对于编号为i的字符，如果2 * i > n，则该字符可以作为结尾字符。如果不作为结尾字符而是中间的字符，则该字符后面可以接任意字符。

(2) 对于编号为i的字符，如果2 * i <= n，则该字符不可以作为结尾字符。作为中间字符，那么后面接的字符编号一定要 >= 2 * i。

问有多少长度为M且符合条件的字符串，由于数据很大，只需要输出该数Mod 10^9 + 7的结果。

例如：N = 2，M = 3。则abb, bab, bbb是符合条件的字符串，剩下的均为不符合条件的字符串。

 

Input

输入2个数，N, M中间用空格分割，N为不同字符的数量，M为字符串的长度。(2 <= N <= 10^6, 2 <= M <= 10^18)

Output

输出符合条件的字符串的数量。由于数据很大，只需要输出该数Mod 10^9 + 7的结果。

Input示例

6 3

Output示例

73

Solution

先尝试分解每个字符串，可以发现每个合法字符串可以被这样的“链”构造，且划分方式唯一

—–这样的“链”：后一个字符串的编号大于等于2*前一个字符串（最后一个字母编号i*2>n）

则问题被分成两块

1. g(x)表示长度为x的合法链的个数，求g(x)
2. v(x)表示长度为x的合法字符串数，求v(x)

显然v(x) = g(1) * v(x – 1) + g(2) * v(x – 2) +…+g(p) * v(x – p)

可以用矩阵乘法优化 复杂度O((logn)^3 * logm)

对于g的转移，设g(x,len)为以x为开头,长度为len的链的方案数

则有g(x,len)=g(2*x,len-1)+g(2*x+1,len-1)+…+g(n,len-1)  (有优化过V3，不过我没打)

这道题就解了。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
typedef long long LL;
typedef double DB;
using namespace std;
LL read() {
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')f=(ch=='-')?-1:f,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+(ch-'0'),ch=getchar();return f*x;
}
const int mo=1e9+7,N=1e6+50;
int n,s[N][25];
LL m;
struct Matrix {
    int a[25][25];
    void clear(int n) {fo(i,1,n)fo(j,1,n)a[i][j]=0;}
    void init(int n) {clear(n);fo(i,1,n)a[i][i]=1;}
}a;
void mul(Matrix &c,Matrix a,Matrix b) {
    c.clear(20);
    fo(i,1,20)fo(k,1,20)fo(j,1,20)(c.a[i][j]+=(LL)a.a[i][k]*b.a[k][j]%mo)%=mo;
}
Matrix ksm(Matrix x,LL y) {
    Matrix ans;
    ans.init(20);
    while(y) {
        if(y&1)mul(ans,ans,x);
        mul(x,x,x),y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main() {
    n=(int)read(),m=read();
    fd(i,n,1)
    if(i*2>n)s[i][1]=s[i+1][1]+1;
    else fo(j,1,20)s[i][j]=s[i*2][j-1]+s[i+1][j],s[i][j]-=(s[i][j]>=mo)?mo:0;
    fo(i,1,20)a.a[20-i+1][20]=s[1][i];
    fo(i,1,19)a.a[i+1][i]=1;
    a=ksm(a,m);
    printf("%d",a.a[20][20]);
    return 0;
}