网络流 最大流dinic算法解释

网络流 最大流dinic算法解释

关于最大流的求解

1. 找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上任意一条边的残量>0（注意是小于而不是小于等于，这意味着这条边还可以分配流量），这条路径便称为增广路
2. 找到这条路径上最小的F[u][v]（我们设F[u][v]表示u->v这条边上的残量即剩余流量），下面记为flow
3. 将这条路径上的每一条有向边u->v的残量减去flow，同时对于起反向边v->u的残量加上flow
4. 重复上述过程，直到找不出增广路，此时我们就找到了最大流

这个算法是基于增广路定理(Augmenting Path Theorem)

引入dinic算法

dinic算法实质上加上了分层图的思想，即每次更新残量网络上最短路的增广路。
参考一个比较优秀的代码
一些变量的定义

int s,t;//源点和汇点
int cnt;//边的数量，从0开始编号。
int Head[maxN];//每一个点最后一条边的编号
int Next[maxM];//指向对应点的前一条边
int V[maxM];//每一条边指向的点
int W[maxM];//每一条边的残量
int Depth[maxN];//分层图中标记深度

Dinic主过程：

int Dinic()
{
    int Ans=0;//记录最大流量
    while (bfs())
    {
        while (int d=dfs(s,inf))
            Ans+=d;
    }
    return Ans;
}

bfs分层图过程

bool bfs()
{
    queue<int> Q;//定义一个bfs寻找分层图时的队列
    while (!Q.empty())
        Q.pop();
    memset(Depth,0,sizeof(Depth));
    Depth[s]=1;//源点深度为1
    Q.push(s);
    do
    {
        int u=Q.front();
        Q.pop();
        for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
            if ((W[i]>0)&&(Depth[V[i]]==0))//若该残量不为0，且V[i]还未分配深度，则给其分配深度并放入队列
            {
                Depth[V[i]]=Depth[u]+1;
                Q.push(V[i]);
            }
    }
    while (!Q.empty());
    if (Depth[t]==0)//当汇点的深度不存在时，说明不存在分层图，同时也说明不存在增广路
        return 0;
    return 1;
}

dfs寻找增广路过程

int dfs(int u,int dist)//u是当前节点，dist是当前流量
{
    if (u==t)//当已经到达汇点，直接返回
        return dist;
    for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
    {
        if ((Depth[V[i]]==Depth[u]+1)&&(W[i]!=0))//注意这里要满足分层图和残量不为0两个条件
        {
            int di=dfs(V[i],min(dist,W[i]));//向下增广
            if (di>0)//若增广成功
            {
                W[i]-=di;//正向边减
                W[i^1]+=di;反向边加
                return di;//向上传递
            }
        }
    }
    return 0;//否则说明没有增广路，返回0
}

把上面的内容都封装到类中：
在此处加上了当前弧优化，即每次不从1开始搜，而是从cur[i]开始。

class Graph
{
private:
    int cnt;
    int Head[maxN];
    int Next[maxM];
    int W[maxM];
    int V[maxM];
    int Depth[maxN];
    int cur[maxN];//cur就是记录当前点u循环到了哪一条边
public:
    int s,t;
    void init()
        {
            cnt=-1;
            memset(Head,-1,sizeof(Head));
            memset(Next,-1,sizeof(Next));
        }
    void _Add(int u,int v,int w)
        {
            cnt++;
            Next[cnt]=Head[u];
            Head[u]=cnt;
            V[cnt]=v;
            W[cnt]=w;
        }
    void Add_Edge(int u,int v,int w)
        {
            _Add(u,v,w);
            _Add(v,u,0);
        }
    int dfs(int u,int flow)
        {
            if (u==t)
                return flow;
            for (int& i=cur[u];i!=-1;i=Next[i])
            {
                if ((Depth[V[i]]==Depth[u]+1)&&(W[i]!=0))
                {
                    int di=dfs(V[i],min(flow,W[i]));
                    if (di>0)
                    {
                        W[i]-=di;
                        W[i^1]+=di;
                        return di;
                    }
                }
            }
            return 0;
        }
    int bfs()
        {
            queue<int> Q;
            while (!Q.empty())
                Q.pop();
            memset(Depth,0,sizeof(Depth));
            Depth[s]=1;
            Q.push(s);
            do
            {
                int u=Q.front();
                Q.pop();
                for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
                    if ((Depth[V[i]]==0)&&(W[i]>0))
                    {
                        Depth[V[i]]=Depth[u]+1;
                        Q.push(V[i]);
                    }
            }
            while (!Q.empty());
            if (Depth[t]>0)
                return 1;
            return 0;
        }
    int Dinic()
        {
            int Ans=0;
            while (bfs())
            {
                for (int i=1;i<=n;i++) cur[i]=Head[i];
                while (int d=dfs(s,inf))
                {
                    Ans+=d;
                }
            }
            return Ans;
        }
};