网络流之最大流问题

Reference：

http://blog.csdn.net/rrerre/article/details/6751520

http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/21026445

http://www.nocow.cn/index.php/Translate:USACO/NetworkFlow

最大流Edmonds_Karp算法模板：

EK算法即增广路算法。

最大流最小割定理：最大流等于最小割

见白书P210

算法思想：

step 1. 令所有弧的流量为0，从而构造一个流量为0的可行流f（称作零流）。
step 2. 若f中找不到可改进路则转step 5；否则找到任意一条可改进路P。
step 3. 根据P求delta。
step 4. 以delta为改进量，更新可行流f。转step 2。
step 5. 算法结束。此时的f即为最大流。

算法的关键步骤是step 2，即：判断是否存在可改进路，若存在又如何求。
可以考虑用广度优先搜索。设置标志数组，记录顶点是不是被访问过；使用队列来存储已经访问过的顶点；另用一个一维数组p[i]，记录每个顶点是由哪个顶点扩展而来（即记录父亲节点）。
首先S入队列。然后每次取队首顶点v，分析所有与v相邻的未访问顶点u：
1、存在弧<v, u>（正向弧），且u未访问。若f(v,u)<C(v,u)（非饱和弧），那么u入队列，给u打上“已访问”的标志，记u的父亲节点为v。
2、存在弧<u, v>（反向弧），且u未访问。若f(u,v) > 0（非零流弧），那么u入队列，给u打上“已访问”的标志，记u的父亲节点为-v。（以示和正向弧的区别）。
扩展完成后，若T还没有被访问就必然不存在可改进路；否则就从T出发，根据记录好的每个顶点的父亲节点信息，顺藤摸瓜，找出可改进路（同时还可以计算出delta）。

起点st，终点m

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
int n,m,st,en;
int cap[300][300];    //cap[u][v]:边(u,v)上的最大流量
int flow[300][300];    //flow[u][v]:边(u,v)上当前的流量
int a[300];        //a[u]:访问标记，同时还记录下delta值
int p[300];        //记录父节点用
const int inf=100000000;

int EK()            //st-->m
{
    queue<int> Q;
    memset(flow,0,sizeof(flow));
    memset(p,-1,sizeof(p));
    int f=0,minflow=inf;
    while(1)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        a[st]=inf;          
        Q.push(st);         
        while(!Q.empty())
        {
            int u=Q.front();Q.pop();
            for(int v=1;v<=m;v++)
                if(!a[v]&&cap[u][v]>flow[u][v])
                {
            p[v]=u;Q.push(v);
            a[v]=a[u]<cap[u][v]-flow[u][v]?a[u]:cap[u][v]-flow[u][v];
                }
        }
        if(a[m]==0) break;
        for (int u=m;u!=st;u=p[u])          
        {
            flow[p[u]][u]+=a[m];
            flow[u][p[u]]-=a[m];
        }
        f+=a[m];
    }
    return f;
}

int main()
{
    int S,E,C;
    while (cin>>n>>st>>m)       //st->m
    {
        memset(cap,0,sizeof(cap));
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>S>>E>>C;
            cap[S][E]+=C;　　　　//处理重边。有些题目，一条路上先给了容量30，然后重复了一次50，这时候这条路上的容量应该是30+50。
        }
        cout<<EK()<<endl;
    }

    return 0;
}

模板例题：

hdu1532

补充：需要拆点的问题：POJ3281

http://www.2cto.com/kf/201210/164289.html

http://moxi466839201.blog.163.com/blog/static/18003841620112316351118/

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补充个ISAP模板，比EK算法快，但是难想难写。看不懂T^T...

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef  struct {int v,next,val;} edge;
const int MAXN=20010;
const int MAXM=500010;
edge e[MAXM];
int p[MAXN],eid;
void init(){memset(p,-1,sizeof(p));eid=0;}
void insert1(int from,int to,int val) //有向
{
    e[eid].v=to;e[eid].val=val;
    e[eid].next=p[from];
    p[from]=eid++;
    swap(from,to);
    e[eid].v=to;e[eid].val=0;
    e[eid].next=p[from];
    p[from]=eid++;
}
void insert2(int from,int to,int val) //无向
{
    e[eid].v=to;e[eid].val=val;
    e[eid].next=p[from];
    p[from]=eid++;
    swap(from,to);
    e[eid].v=to;e[eid].val=val;
    e[eid].next=p[from];
    p[from]=eid++;
}
int n,m;//n为点数 m为边数
int h[MAXN];
int gap[MAXN];
int s,t;
int dfs(int pos,int cost)
{
    if (pos==t) return cost;
    int j,minh=n-1,lv=cost,d;
    for (j=p[pos];j!=-1;j=e[j].next)
    {
        int v=e[j].v,val=e[j].val;
        if(val>0)
        {
            if (h[v]+1==h[pos])
            {
                if (lv<e[j].val) d=lv;
                else d=e[j].val;
                d=dfs(v,d);
                e[j].val-=d;
                e[j^1].val+=d;
                lv-=d;
                if (h[s]>=n) return cost-lv;
                if (lv==0) break;
            }
            if (h[v]<minh)    minh=h[v];
        }
    }
    if (lv==cost)
    {
        --gap[h[pos]];
        if (gap[h[pos]]==0) h[s]=n;
        h[pos]=minh+1;
        ++gap[h[pos]];
    }
    return cost-lv;
}
int isap(int st,int ed)
{
    s=st;t=ed;
    int ret=0;
    memset(gap,0,sizeof(gap));
    memset(h,0,sizeof(h));
    gap[st]=n;
    while (h[st]<n)
        ret+=dfs(st,INT_MAX);
    return ret;
}
int main()
{
    while(cin>>m>>n)
    {
        init();
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int u,v,c;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
            insert1(u,v,c);
        }
        printf("%d
",isap(1,n));
    }
    return 0;
}

补充：sap、isap(sap+gap优化)、dinic算法：

http://blog.csdn.net/sprintfwater/article/details/7913181

sap算法：

http://www.cnblogs.com/longdouhzt/archive/2011/09/04/2166187.html