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  • 正整数互素的概率问题

    正整数互素的概率问题

    2018 年 10 月 14

    最近,马明辉和我考虑了一些正整数互素的概率问题。

    Euler 乘积公式, 对 $Re(s)>1$ 有
    egin{equation*}
    zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} = prod_{p} left( 1- frac{1}{p^s} ight)^{-1},
    end{equation*}
    其中 $zeta(s)$ 为 Riemann zeta 函数.

    任意两个正整数互素的概率
    egin{equation*}
    prod_{p} left(1-frac{1}{p^2} ight) = frac{1}{zeta(2)} = frac{6}{pi^2},
    end{equation*}

    任意 $k$ ($kgeqslant 2$) 个正整数互素的概率是
    egin{equation*}
    prod_{p} left(1-frac{1}{p^k} ight) = frac{1}{zeta(k)},
    end{equation*}

    任意 $k$ 个正整数两两互素的概率是
    egin{equation*}
    prod_{p} left( left(1-frac{1}{p} ight)^{k} + inom{k}{1} frac{1}{p} left(1-frac{1}{p} ight)^{k-1} ight) = prod_{p} left( 1- frac{1}{p} ight)^{k-1} left(1+frac{k-1}{p} ight).
    end{equation*}

    设 $(a,b)=1$ 且 $a,b in mathbb{N}_{+}$, 算术数列 ${ an+b }_{ngeqslant 0}$ 中任意 $k$ 个数互素的概率为

    egin{equation*}
    prod_{p mid a} left(1- frac{1}{p^k} ight).
    end{equation*}

    当然我们也考虑了算术数列中任意 $k$ 个数两两互素的概率,并做了推广。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/pengdaoyi/p/9981997.html
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