一个小式子
(0equiv a+b pmod {a+b}\-aequiv bpmod {a+b}\a^2equiv b^2pmod {a+b})
同理,(a^2equiv b^2pmod {a-b})
期望三连
期望1(生日问题)
如果认为每个人每天出生概率相同
一个老板要雇佣 n 个人
在一年中,对于一天来说,如果这天是任意一个员工的生日,那么这天所有员工都放假
求雇佣多少人可以使得一年中员工工作人次最高
考虑一天的期望,(ans=n(frac {364}{365})^n),求(ans)最大值,实测(n=364)或(365)最大
期望2(期望最大值)
在0到1之间随机选取k个实数,问最大数的期望
考虑积分,对于特定的一个数为最大数,且等于(x)的概率为(x^{k-1}),而有(k)个数可能为最大数,再算上自身的期望贡献,答案为(int_0^1kx^kdx=frac k{k+1})
答案可扩展:
①第(i)小的数期望为(frac i{k+1})(目前详细证明已更新)
①当前发现自己比(a)个人高,比(b)个人低,则比新加进来的一个人高的概率为(frac {a+1}{a+b+2})
期望3(发车问题)
如果公交车每(t)时间发车一辆,问期望等待时间
若公交准点,明显(frac t2),证明显然
若公交泊松分布出现,则期望等待时间为(t)
证明:
从现在开始的(nt)时间内有(n)辆车
最早来车时间期望为(frac {nt}{n+1})
则(n)接近无穷大时,极限为(t)