第三次作业

参考书《数据压缩导论（第4版）》  Page 100   5， 6

  5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a1a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

 从概率模型可知：

   F_x(k)=0, k≤0, F_x(1)=0.2, F_x(2)=0.5, F_x(3)=1, F_x(k)=1, k>3.

将u^（0）初始化为1，将l^（0）初始化为0,该序列的第一个元素为a₁,得到以下更新：

                                    l⁽¹⁾=0+(1-0)0=0

                                    u⁽¹⁾=0+(1-0)(0.2)=0.2

因此，a₁包括在区间[0,0.2)中。该序列的第2个元素为a₁,利用更新公式，可得：

                                    l⁽²⁾=0+(0.2-0)0=0

                                    u⁽²⁾=0+(0.2-0) F_x(1)=0.2*0.2=0.04

因此，a₁a₁包括在区间[0,0.04)中。该序列的第3个元素为a₃,利用更新公式，可得：

                                     l⁽³⁾=0+(0.04-0)F_x(2)=0.04*0.5=0.02

                                    u⁽³⁾=0+(0.04-0) F_x(3)=0.04*1=0.04

因此，a₁a₁a₃包括在区间[0.02,0.04)中。该序列的第4个元素为a₂,利用更新公式，可得：

                                     l⁽⁴⁾=0.02+(0.04-0.02)F_x(1)=0.02+0.004=0.024

                                    u⁽⁴⁾=0.02+(0.04-00.02) F_x(2)=0.02+0.01=0.03

因此，a₁a₁a₃a₂包括在区间[0.024,0.03)中。该序列的第5个元素为a₃,利用更新公式，可得：

                                     l⁽⁵⁾=0.024+(0.03-0.024)F_x(2)=0.024+0.003=0.027

                                    u⁽⁵⁾=0.024+(0.03-00.024) F_x(3)=0.024+0.006=0.03

因此，a₁a₁a₃a₂a₃包括在区间[0.027,0.03)中。该序列的第6个元素为a₁,利用更新公式，可得：

                                     l⁽⁶⁾=0.027+(0.03-0.027)0=0.027

                                    u⁽⁶⁾=0.027+(0.03-0.027) F_x(1)=0.027+0.0006=0.0276

可以生成序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁的标签如下：

                                     Tx（a₁a₁a₃a₂a₃a₁）_{=（0.027+0.0276）/2=0.0273}

6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

解： 设u^（0）=1，l^（0）=0,在解出第一个元素x₁之后，上下限变为：

                                     l⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁-1)=F_x(x₁-1)

                                     u ⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁)=F_x(x₁)

如果x₁=1,则该区间为[0,0.2]

如果x₁=2,则该区间为[0.2,0.5]

如果x₁=3,则该区间为[0.5,1]

因为0.63215699在区间[0.5,1]中，所以该序列的第一个元素为a_3.

利用更新后的 l⁽¹⁾和u ⁽¹⁾的值，为第二个元素重复这一过程：

                                     l⁽²⁾=0.5+(1-0.5)F_x(x₂-1)=0.5+0.5F_x(x₂-1)

                                     u ⁽²⁾=0.5+(1-0.5)F_x(x₂)=0.5+0.5F_x(x₂)

如果x₁=1,则该区间为[0.5,0.6]

如果x₁=2,则该区间为[0.6,0.75]

如果x₁=3,则该区间为[0.75,1]

因为0.63215699在区间[0.6,0.75]中，所以该序列的第二个元素为a_2.

利用更新后的 l⁽²⁾和u ⁽²⁾的值，为第三个元素重复这一过程：

                                     l⁽³⁾=0.6+(0.75-0.6)F_x(x₃-1)=0.6+0.15F_x(x₃-1)

                                     u ⁽³⁾=0.6+(0.75-0.6)F_x(x₃)=0.6+0.15F_x(x₃)

如果x₁=1,则该区间为[0.6,0.63]

如果x₁=2,则该区间为[0.63,0.675]

如果x₁=3,则该区间为[0.675,0.75]

因为0.63215699在区间[0.63,0.675]中，所以该序列的第三个元素为a_2.

利用更新后的 l⁽³⁾和u ⁽³⁾的值，为第四个元素重复这一过程：

                                     l⁽⁴⁾=0.63+(0.675-0.63)F_x(x₄-1)=0.63+0.045F_x(x₄-1)

                                     u ⁽⁴⁾=0.63+(0.675-0.63)F_x(x₄)=0.63+0.045F_x(x₄)

如果x₁=1,则该区间为[0.63,0.639]

如果x₁=2,则该区间为[0.639，0.6525]

如果x₁=3,则该区间为[0.6525,0.675]

因为0.63215699在区间[0.63,0.639]中，所以该序列的第四个元素为a_1.

利用更新后的 l⁽⁴⁾和u ⁽⁴⁾的值，为第五个元素重复这一过程：

                                     l⁽⁵⁾=0.63+(0.639-0.63)F_x(x₅-1)=0.63+0.009F_x(x₅-1)

                                     u ⁽⁵⁾=0.63+(0.639-0.63)F_x(x₅)=0.63+0.009F_x(x₅)

如果x₁=1,则该区间为[0.63,0.6318]

如果x₁=2,则该区间为[0.6318,0.6345]

如果x₁=3,则该区间为[0.6345,0.639]

因为0.63215699在区间[0.6318,0.6345]中，所以该序列的第五个元素为a_2.

利用更新后的 l⁽⁵⁾和u ⁽⁵⁾的值，为第六个元素重复这一过程：

                                     l⁽⁶⁾=0.6318+(0.6345-0.6318)F_x(x₆-1)=0.6318+0.0027F_x(x₆-1)

                                     u ⁽⁶⁾=0.6318+(0.6345-0.6318)F_x(x₆)=0.6318+0.0027F_x(x₆)

如果x₁=1,则该区间为[0.6318,0.63234]

如果x₁=2,则该区间为[0.63234,0.63315]

如果x₁=3,则该区间为[0.63315,0.6345]

因为0.63215699在区间[0.6318,0.63234]中，所以该序列的第六个元素为a_1.

利用更新后的 l⁽⁶⁾和u ⁽⁶⁾的值，为第七个元素重复这一过程：

                                     l⁽⁷⁾=0.6318+(0.63234-0.6318)F_x(x₇-1)=0.6318+0.00054F_x(x₇-1)

                                     u ⁽⁷⁾=0.6318+(0.63234-0.6318)F_x(x₇)=0.6318+0.00054F_x(x₇)

如果x₁=1,则该区间为[0.6318,0.631908]

如果x₁=2,则该区间为[0.631908,0.63207]

如果x₁=3,则该区间为[0.63207,0.63234]

因为0.63215699在区间[0.63207,0.63234]中，所以该序列的第七个元素为a_3.

 

利用更新后的 l⁽⁷⁾和u ⁽⁷⁾的值，为第八个元素重复这一过程：

                                     l⁽⁸⁾=0.63207+(0.63234-0.63207)F_x(x₈-1)=0.63207+0.00027F_x(x₈-1)

                                     u ⁽⁸⁾=0.63207+(0.63234-0.63207)F_x(x₈)=0.63207+0.00027F_x(x₈)

如果x₁=1,则该区间为[0.63207,0.632124]

如果x₁=2,则该区间为[0.632124,0.632205]

如果x₁=3,则该区间为[0.632205,0.63234]

因为0.63215699在区间[0.632124,0.632205]中，所以该序列的第八个元素为a_2.

利用更新后的 l⁽⁸⁾和u ⁽⁸⁾的值，为第九个元素重复这一过程：

                                     l⁽⁹⁾=0.632124+(0.632205-0.632124)F_x(x₉-1)=0.632124+0.000081F_x(x₉-1)

                                     u ⁽⁹⁾=0.632124+(0.632205-0.632124)F_x(x₉)=0.632124+0.000081F_x(x₉)

如果x₁=1,则该区间为[0.632124,0.6321402]

如果x₁=2,则该区间为[0.0.6321402,0.6321645]

如果x₁=3,则该区间为[0.6321645,0.63234]

因为0.63215699在区间[0.0.6321402,0.6321645]中，所以该序列的第九个元素为a_2.

利用更新后的 l⁽⁹⁾和u ⁽⁹⁾的值，为第十个元素重复这一过程：

                                     l⁽¹⁰⁾=0.0.6321402+(0.6321645-0.0.6321402)F_x(x₁₀-1)=0.0.6321402+0.0000243F_x(x₁₀-1)

                                     u ⁽¹⁰⁾=0.0.6321402+(0.6321645-0.0.6321402)F_x(x₁₀)=0.0.6321402+0.0000243F_x(x₁₀)

如果x₁=1,则该区间为[0.6321402,0.63212886]

如果x₁=2,则该区间为[0.63212886,0.63215325]

如果x₁=3,则该区间为[0.63215325,0.6321645]

因为0.63215699在区间[0.63215325,0.6321645]中，所以该序列的第十个元素为a_3.

_{所以该序列为}a₃a₂a₂a₁a₂a₁a₃a₂a₂a₃