有上下界网络流学习笔记
1.有（无）源汇有上下界最小费用可行流：算法的核心思想是补流。先判断原图是否有源汇，若有则连边(t o s(infty/0))；随后新建超级源汇(S)，(T)；然后对于每一条边(x o y)，连边(x o y(high-low/w))；接着对每一个点(x)，计(delta)为该点入边流量下界之和减去该点出边流量下界之和，如果(delta)为正数，说明接下来有一部分流量要从(x)流出，则连边(S o x(delta/0))；若(delta)为负数，说明需要有一部分流量流入(x)，则连边(x o T(-delta/0))，最后做费用流在加上必须流的费用即可。
模板题，没啥好说的。
2.无源汇有上下界可行流：算法的核心是先建出初始流，再通过补充附加流，满足流量平衡（其实和1是一样的）。建立附加源汇(S)，(T)，然后对于每一条边(x o y)，连边(x o y(high-low))；接着对每一个点(x)，计(delta)为该点入边流量下界之和减去该点出边流量下界之和，如果(delta)为正数，说明接下来有一部分流量要从(x)流出，则连边(S o x(delta))；若(delta)为负数，说明需要有一部分流量流入(x)，则连边(x o T(-delta))。如果我们能够找到使后面所有附加上的边都满流的方案，那么我们就得到了可行流，所以对新图做最大流即可。若存在方案，那么最后每条边的流量为最大流中的流量加上原图中的流量下界。
例2.ZOJ2314
仍然是模板题。
3.有源汇有上下界最小/最大流：连边(t o s(infty))，先用2中所述方法求出可行流，然后删去(t o s(infty))，从(s)到(t)在原来的残量网络上增广即可得到最大流，因为这样既不破坏流量平衡，又不会不符合上下界，同时最大化了流量；最小流有两种做法：1.因为反向边的流量增加就是正向边的流量减小，最小流是正向边流量最小化，所以(s o t)最小流就是反向边流量最大化，即(t o s)最大流，设第一次增广中(t o s(infty))的流量为(x1)，删除(t o s(infty))反过来增广最大流为(x2),那么最小流即为(x1-x2)。2.（这个做法我也不是很明白，如果有大佬知道原因，希望能给我讲解一下）先求超级源汇的最大流，然后连边(t o s(infty))，继续增广求超级源汇的最大流，答案即为新边(t o s(infty))的实际流量，因为第一次增广时流量已经尽量往其他边流，那么加上这条新边后，就尽可能减小了最终答案。
例3.BZOJ2502
还有一些练习题，等我写了再贴在这吧。