Part 4R 不定积分和定积分

关于(f(x))在((a, b))上有原函数(F(x))，要注意以下几点。在((a, b))上：

1. (f(x))不一定连续
2. 由原函数定义，(F'(x)=f(x))，因而(F(x))连续
3. (F(x))不一定是初等函数
4. (f(x))不一定是初等函数

可积性

1. 不定积分的存在性等价于原函数存在。不能有第一类间断点（由Darboux定理决定：闭区间上(连续)函数的导函数无第一类间断点），不能有无穷间断点（无穷处不可导），如果有间断点必然是震荡间断。
2. 定积分的存在性对应黎曼可积。
   1. 连续函数必然黎曼可积。利用变上限函数微分定理可以说明。
   2. 常可以利用“有限个第一类间断点”判别（考研）。
   3. 更一般的，对应不定积分的存在性，黎曼可积性可以兼容第一类间断和有界的震荡间断点。从而我们总结出（同济7版）：若(f(x))在([a,b])上连续，则(int_a^b f(x)mathrm dx)必定存在。
3. 原函数存在的函数不一定黎曼可积。例如(F(x)=egin{cases}x^2sin^2frac{1}{x}, &x=0\0, &x ot=0end{cases})的导函数，其原函数是(F(x))，但是由于无界，故不可积。
4. 可积的函数不一定有原函数。因为可积的函数中包含了带有有限个第一类间断点的函数。

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不可导点

1. 无定义的点,没有导数存在(D.N.E.= do not exists)，例如分子为0的点；(无定义)
2. 不连续的点,或称为离散点,导数不存在；(不连续)
3. 连续点,但是此点为尖尖点,左右两边的斜率不一样,也就是导数不一样,不可导；(不光滑)
4. 有定义,连续、光滑,但是斜率是无穷大.(导数值为∞)

原函数存在定理

如果函数(f(x))在区间([a,b])上连续，那么函数

[varPhi(x)=int_a^xf(t)\,mathrm dt ]

就是(f(x))在([a,b])上的一个原函数。