Part 6 二重积分

重积分

二重积分的概念

Weierstrass函数证明了存在函数处处连续处处不可导。

与定积分概念密切相连：分割，求和，取极限。

分划成为网状分割，每个交点处横截

横截性：函数在P点横截，如果两个切线方程的线性子空间的维数等于2。

模仿定积分，给出二重积分的定义。如果记(lambda=max{D_i)的直径(})

事实：

1. 有界闭区域上连续的二元函数是可积的。
2. 有界闭区间上分片有界连续函数可积。

性质：
线性空间的性质。
积分区域可加。
不等式保序。

特例(|iint f(x,y)mathrm dsigma|leqiint|f(x, y)|mathrm dsigma)

积分中值定理

重（二重）积分的计算

原则：把二重积分化成累次积分。

直角坐标系下的计算

先积x，y中更整齐的那一维。
先积那一维取决于简便性（菱形例）

我们可以利用累次积分的思路解决复杂定积分的问题。

例 换一个维度进行二重积分，从而把其中的(e^{y^2})可以先看成常数，便于操作。

[I=int_0^bmathrm dxint_x^ae^{y^2}mathrm dy=iintlimits_{D}e^{y^2}\,mathrm dxmathrm dy=int_0^amathrm dyint_0^ye^{y^2}\,mathrm dx=int_0^ae^{y^2}y\,mathrm dy ]

然后就可以凑微分

极坐标系下的计算

引入：为了解决高斯积分

适合用二重积分解决的三种典型模型

环形，不规则星形，极点在边界曲线上。（有曲边，能由这几类问题组合而成）
例 由(y=x, y=2x, x^2+y^2=4x, x^2+y^2=8x)围成的面积。

不适合用极坐标的例子

边界非常直的问题（直线的极坐标方程都相对繁琐）。

例 由(y=x, y=0, x=1)围成的面积

积分区域和被积函数的取舍？

整洁的区域和优美的函数只能选择一个
例 (I=iintlimits_{D}frac{mathrm dxmathrm dy}{(a^2+x^2+y^2)^{frac{3}{2}}} D={(x,y)|0leq xleq a, 0leq yleq a})主要矛盾是相对复杂的表达式与有限的计算能力的矛盾。化成极坐标方程下求解。

高斯积分的求解

三重积分

两种求解思路：

• 先定((x,y))求(z)坐标区间（外层二重积分）。
• 先定(x)坐标，切出一系列平面（内层二重积分）。

对换与轮换

几种坐标变换：
柱坐标（每个面都极坐标）、球坐标（进一步吸纳极坐标只有一个长度量的特性）、一般变换（雅可比式）。

重积分的应用

二重积分：面积，曲顶柱体的体积。
三重积分：体积，两曲面之间的体积。

椭圆型的积分

椭圆型的积分，不采取从负到正的积分限（如果出现这种情况，一般可以直接使用椭圆面积公式，或者是想错了）
通常可以使用广义极坐标变换，这使得极径的上下限极其简明。

轮换

求解重积分时的轮换只能解决类似表达式不复求的问题（比如求柱体转动惯量的(x,y)分量时）。
与之相较，曲线曲面积分是由等式所决定的，在区域对函数来讲高度对称的时候，使用轮换方法可以化简求解式，从而大大降低复杂度。
例球面(x^2+y^2+z^2=a^2)和平面(x+y+z=0)的交曲线，若要求(int_Lx^2\,mathrm ds)可以利用(frac{1}{3}a^2\,mathrm ds)来考虑