P1754 球迷购票问题

题目背景

盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。

按售票处规定，每位购票者限购一张门票，且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币，另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。

题目描述

例如当n=2是，用A表示手持50元面值的球迷，用B表示手持100元钱的球迷。则最多可以得到以下两组不同的排队方式，使售票员不至于找不出钱。

第一种:A A B B

第二种:A B A B

[编程任务]

对于给定的n (0≤n≤20),计算2N个球迷有多少种排队方式，可以使售票处不至于找不出钱。

输入输出格式

输入格式：

一个整数，代表N的值

输出格式：

一个整数，表示方案数

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2

输出样例#1： 复制

2

说明

必开QWORD

测试：N=15

回溯:1秒（超时）

模拟栈：大于10分钟

递归算法：1秒（超时）

动态规划：0 MS

组合算法：16 MS

卡特兰数吧，我事先布吉岛有这东西，就yy了一个dp神似卡特兰数

dp[i][j]:代表前i个100间插入j个50的方案数

决策：第i个100和第i-1个100间填多少个50；

(j>=i才有意义)

dp[i][j]=∑(0<=k<=(j+1)-i)dp[i-1][j-k]

 　　  =dp[i-1][j]+∑(0<=k<=j-i)dp[i-1][(j-1)+k]

　　   =dp[i-1][j]+dp[i][j-1] 

但是如果纯粹这么写，会发现若i==j时，dp[i][j-1]=dp[i][i-1]始终为0，无法更新dp[i][j]

我们分析dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+dp[i-1][i],所以我们专门处理

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 2147483647
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
#define ri register int
template <class T> inline T min(T a, T b, T c)
{
    return min(min(a, b), c);
}
template <class T> inline T max(T a, T b, T c)
{
    return max(max(a, b), c);
}
template <class T> inline T min(T a, T b, T c, T d)
{
    return min(min(a, b), min(c, d));
}
template <class T> inline T max(T a, T b, T c, T d)
{
    return max(max(a, b), max(c, d));
}
#define scanf1(x) scanf("%d", &x)
#define scanf2(x, y) scanf("%d%d", &x, &y)
#define scanf3(x, y, z) scanf("%d%d%d", &x, &y, &z)
#define scanf4(x, y, z, X) scanf("%d%d%d%d", &x, &y, &z, &X)
#define pi acos(-1)
#define me(x, y) memset(x, y, sizeof(x));
#define For(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define FFor(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
#define bug printf("***********
");
#define mp make_pair
#define pb push_back
const int maxn = 10005;
// name*******************************
ll dp[100][100];
ll n;
// function******************************


//***************************************
int main()
{
//    ios::sync_with_stdio(0);
//    cin.tie(0);
    // freopen("test.txt", "r", stdin);
    //  freopen("outout.txt","w",stdout);
    cin>>n;
    dp[0][1]=1;
    For(i,1,n)
    {
        For(j,i,n)
        {
            if(j>i)
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            else
                dp[i][i]=dp[i-1][i]+dp[i-1][i-1];
//            cout<<"i:"<<i<<" j:"<<j<<" dp:"<<dp[i][j]<<endl;
        }
    }

    cout<<dp[n][n];

    return 0;
}