讲丶数学

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壹 回顾小学数学

目录

• 讲丶数学
  • 壹 回顾小学数学
    • 素数定义：
    • 合数定义：
    • 质数个数：
    • 算数基本定理：
    • 算数基本定理的推论：
  • 贰 质数的判定
  • 叄 质数筛法
    • Eratosthenes 筛法（埃拉托斯特尼筛法）：
    • 线性筛法：

素数定义：

素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

约数定义：如果存在一个整数(k)，使得(a=k*d),则称(d)整除(a)，记做(d|a),称(a)是(d)的倍数，如果(d>0),称(d)是(a)的约数。特别的任何数都整除(0)。

合数定义：

合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。

质数个数：

在自然数中，质数的个数并不多，对于一个足够大的整数(N),不超过(N)的质数大约有(N/lnN)个。（证明很复杂，自己上网找，理解不了就记下来）

算数基本定理：

任何一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积。

(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}p_4^{c_4}……p_m^{c_m})

其中(c_i)都是正整数，(p_i)都是质数，且(p_1<p_2<p_3……<p_m).

算数基本定理的推论：

由上面的定理可知(N)的正约数集合可写作：

{(p_1^{b_1}p_2^{b_2}……p_2^{b_2})},且(0<=b_i<=c_i)

(N)的正约数个数为((c_1+1)(c_2+1)*……*(c_m+1)=prod_{i=1}^m(c_i+1))

正约数和为(prod_{i=1}^m(sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^j))

贰 质数的判定

暴力试除：

若一个正整数(N)为合数，则存在一个能整除(N)的数(T)，且(2<=T<=sqrt{N}).

所以我们暴力扫描(2)~(sqrt{N})的整数，若都不能整除(N),(N)就是质数。同时要特判0和1两个数，它们既不是质数，也不是合数。

叄 质数筛法

Eratosthenes 筛法（埃拉托斯特尼筛法）：

如果(x)为合数，那么(x)的倍数一定是合数。

我们可以根据上面的命题，由小到大扫描每个数(x),把(2x,3x,4x……lfloor N/x floor*x)打上标记，记为合数。当扫描到某个数后，如果没被标记，它就是合数。

这个算法的时间复杂度是(O(sum_{质数p<=N}N/p)=O(NloglogN)),很接近线性，一般竞赛里都用这个方法。

线性筛法：

我们想一下，按照埃筛的方法标记的时候，会出现重复标记的情况。

比如12，它在标记2的倍数时被标记了一次，在标记3的倍数时被标记了一次。

线性筛是通过从小到大储存质因子来标记合数。

设数组(pf)记录每个数的最小质因子，按照下面的步骤来操作：

1. 依次考虑2~(N)之间的每个数(i);
2. 若(pf[i]=i),则(i)是质数;
3. 扫描不大于(v[i])的每个质数(p),令(pf[i*p]=p).

这样每个合数(i*p),只会被最小质因数(p)标记一次，时间复杂度为(O(N));