关于高等数学的学习笔记（一）
特别鸣谢
函数与极限
函数
函数的定义
设D是是实数集R的非空子集，f是一个对应法则。如果对于D中的每一个x，按照对应法则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称f为定义在D上的函数，集D称为函数f的定义域。与D中x相对应的y称为f在x的函数值，记为y=f(x).全体函数值所成的实数集
称为函数f的值域。
函数概念的推广与和发展
把函数定义中的定义域和值域两个要素，从实数集推广到高维(有限维或无限维)空间中的一般集合，便得到了映射的概念.映射是函数概念的推广和发展，比函数概念广泛得多，内涵也更丰富.
函数的几种特性
- 有界性
- 单调性
- 奇偶性
- 周期性
反函数
设函数y=f(x)的定义域为D值域为Y=f(D).若对Y中每一值y0,D中必有唯一一个值x0，使f(x0)=y0,则令x0与y0相对应，便可在Y上确定一个函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作
严格单调增加（减少）函数必有反函数，且反函数也是严格单调增加（减少）的。
复合函数
已知两个函数y=f(u),u(in)D1和u=(phi)(x),x(in)D2.如果D12={x|(phi)(x)(in)D1, x(in)D2}( ot=)(emptyset),则对每个x(in)D12,通过函数u=(phi)(x)有确定的u(in)D1与之对应，又通过函数y=f(u)有确定的实数f与u与之对应，从而得到一个以x为自变量，y为因变量，定义在D12上的函数，称它为有函数y=f(u)与u=(phi)(x)复合而成的复合函数。其中y=f(u)成为外函数，u=(phi)(x)称为外函数，u称为中间变量.
初等函数
- 幂函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
- 反三角函数
双曲函数
- 双曲正弦函数
- 双曲余弦函数
函数的极限
理解极限(varepsilon)-N和(varepsilon)-(delta)定义
（1）Cauchy极限定义与科学内涵和缺陷
1。Cauchy极限定义的科学内涵
我们先给出Cauchy对于极限的定义：当一个变量逐次所取得值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定值之差要多小就有多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。
极限概念本质上是用来刻画在一个无限变化过程中变量的最终变化趋势的.例如，按照Cauchy的定义
(displaystyle lim_{n o infty}{a_n}=A),就是当n无限增大时，数列an无限趋近于一个定值A，最终an的值与A之差要多小就有多小；
(displaystyle lim_{x o x_0}{f(x)}=A),就是当x无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于一个定值A，最终f（x）的值与A之差要多小就有多小。
因此，Cauchy的极限定义揭示了极限概念的科学内涵。
2。Cauchy极限定义的缺陷
虽然，Cauchy的极限定义时明确的、比较严格的，但是他的定义是“描述性的”，“直观的”，没有对其中的“两个无限”，以及与定值A的接近程度“要多小就有多小”作进一步的刻画，因此，用该定义难以判断比较复杂极限的存在性，也难以计算极限的值，难以利用该定义进行逻辑推理。
基于直观的判断实际上是一种“有限归纳”，很难用以判断无限变化的过程。
（2）Weierstrass用(varepsilon)-N（或(varepsilon)-(delta)）对“两个无限”和接近程度“要多小就有多小”进行了严格的刻画
我们以数列极限(displaystyle lim_{n o infty}{a_n}=A)的(varepsilon)-N的定义为例来说明。
定义 设{an}为一数列，若存在一常数A(in)R,对于任意给定的(varepsilon)>0,存在正整数N，使当n>N时，恒有不等式|an-A|< (varepsilon)成立，则称{an}的极限存在，此时，称A为它的极限。
在这个定义中，由于(varepsilon)>0是任意的（它可以任意小，要多小就有多小），不等式|an-A|< (varepsilon)刻画了an与A的接近程度，(varepsilon)越小，an与A的接近程度越好。因此，(forall)>0,