线段树入门
一、引言
我们在做练习和比赛中，经常能碰见统计类型的题目。题目通过输入数据给程序提供事物信息，并要求程序能比较高效地求出某些时刻，某种情况下，事物的状态是怎样的。这类问题往往比较简单明了，也能十分容易地写出模拟程序。但较大的数据规模使得模拟往往不能满足要求。于是我们就要寻找更好的方法。
本文将介绍解决此类问题的一种方法——线段树。
二、线段树
2.1 线段树的结构
线段树是一棵二叉树，其结点是一条“线段”——[a,b]，它的左儿子和右儿子分别是这条线段的左半段和右半段，即[a,[(a+b)/2]],[[(a+b)/2],b]线段树的叶子结点是长度为1的单位线段[a,a+1]。下图就是一棵根为[1,10]的线段树：
易证一棵以[a,b]为根的线段树结点数是2*(b-a)-1。由于线段树是一棵平衡树，因此一棵以[a,b]为根结点的线段树的深度为log2(2*(b-a))。
线段树中的结点一般采取如下数据结构：
|
其中a,b分别表示线段的左端点和右端点，Left，Right表示左儿子和右儿子的编号。因此我们可以用一个一维数组来表示一棵线段树：
Tree:array[1..Maxn] of TreeNode;
a,b,Left,Right这4个域是描述一棵线段树所必须的4个量。根据实际需要，我们可以增加其它的域，例如增加Cover域来计算该线段被覆盖的次数，bj域用来表示结点的修改标记（后面将会提到）等等。
2.2 线段树的建立
我们可以用一个简单的过程建立一棵线段树。
Procedure Insert(Num) Begin If(a<tree[num].a)and(tree[num].b<b)then Inc(tree[num].cover) Else Begin If a<(tree[num].a+tree[num].b)shr 1 then Insert(tree[num].left); If b>(tree[num].a+tree[num].b)shr 1 then Insert(tree[num].right); End; End
2.3 线段树中的线段插入和删除
增加一个Cover的域来计算一条线段被覆盖的次数，即数据结构变为：
|
因此在MakeTree的时候应顺便把Cover置0。
以下是关于线段树插入与删除的操作
1.线段的插入
插入一条线段[a,b]
Procedure Insert(Num) Begin If(a<tree[num].a)and(tree[num].b<b)then Inc(tree[num].cover) Else Begin If a<(tree[num].a+tree[num].b)shr 1 then Insert(tree[num].left); If b>(tree[num].a+tree[num].b)shr 1 then Insert(tree[num].right); End; End
2.线段的删除
删除一条线段[a,b]
Procedure delete(num);
Begin
If(a<tree[num].a)and(tree[num].b<b)then
Dec(tree[num].cover)
Else
Begin
If a<(tree[num].a+tree[num].b)shr 1 then
delete(tree[num].left);
If b>(tree[num].a+tree[num].b)shr 1 then
delete(tree[num].right);
End;
End;
（有空附上c++版的）
2.4 线段树的简单应用
掌握了线段树的建立，插入和删除这3条操作，就能用线段树解决一些最基本的统计问题了。例如给出一系列线段[a,b] (0<a<b<10000)覆盖在数轴上，然后求该数轴上共有多少个单位长度[k,k+1]被覆盖了。我们便可以在读入一系列线段[a,b]的时候，同时调用过程Insert(1)。等所有线段都插入完后，就可以进行统计了：
|
像这样的基本静态统计问题，线段树是可以很方便快捷地解决的。但是我们会留意到，如果处理一些动态统计问题，比如说一些需要用到删除和修改的统计，困难就出现了。
『例1』在数轴上进行一系列操作。每次操作有两种类型，一种是在线段[a,b]上涂上颜色，另一种将[a,b]上的颜色擦去。问经过一系列的操作后，有多少条单位线段[k,k+1]被涂上了颜色。
【输入格式】
第一行输入2个数a,b（a表示线段为[0，a]，0<a<=2000000，b表示有b个操作）
以下从2到b+1行，每行有三个数
第一个表示线段染的颜色（1表示涂色，0表示擦去）
第二个数和第三个数分别表示这个线段区间的上下界。
【输出格式】
一个数字，表示有多少线段被染色
【输入样例1】
6 3
1 2 3
1 2 4
0 4 5
【输出样例1】
2
【输入样例2】
20 5
1 1 15
0 4 9
1 7 18
1 7 9
0 1 3
【输出样例2】
11
这时我们就面临了一个问题——线段的删除。但线段树中线段的删除只能是把已经放入的线段删掉，例如我们没有放置[3,6]这条线段，删除[3,6]就是无法做到的了。而这道题目则不同，例如在[1,15]上涂了颜色，我们可以把[4,9]上的颜色擦去，但线段树中只是插入了[1,15]这条线段，要删除[4,9]这条线段显然是做不到的。因此，我们有必要对线段树进行改进。
2.5 线段树的改进
用回刚刚那个例子。给[1,15]涂上色后，再把[4,9]的颜色擦去。很明显[1,15]这条线段已经不复存在，只剩下[1,4]和[9,15]，所以我们必须对线段树进行修改，才能使它符合改变了的现实。我们不难想到把[1,15]这条线段删去，再插入线段[1,4]和[9,15]。但事实上并非如此简单。如下图
若先前我们已经插入了线段[8,11]，[1,8]。按上面的做法，只把[1,15]删去，然后插入[1,4]，[9,15]的话，[1,8]，[8,11]这两条线段并没有删去，但明显与实际不符了。于是[1,8]，[8,11]也要修改。这时疑问就来了。若以线段[1,15]为根的整棵线段树中的所有结点之前都已经插入过，即我们曾经这样涂过颜色：[1,2],[2,3]，……，[14,15],[1,3],[3,5],……,[13,15],[1,5]，…………，[1,15]。然后把[1,15]上的颜色擦去。那么整个线段树中的所有结点的状态就都与实际不符了，全都需要修改。修改的复杂度就是线段树的结点数，即2*(15-1)=28。如果不是[1,15]这样的小线段，而是[1,30000]这样的线段，一个擦除动作就需要O(59998)的复杂度去修改，显然效率十分低（比直接模拟的O(30000)还差）。
为了解决这个问题，我们给线段树的每一个结点增加一个标记域（以下用bj来表示标记域）。增加一个标记域有什么用呢？如下图：
以[1,5]为根的整棵线段树的全部结点都已涂色。现把[1,5]上的颜色擦去。则整棵线段树的结点的状态都与实际不符了。可是我们并不一定要对所有结点都进行修改，因为有些结点以后可能根本不会有被用到的时候。例如我们做完擦去[1,5]的操作之后，只是想询问[3,5]是否有涂上颜色。那么我们对[1,2]，[2,3],[1,3],[3,4],[4,5]等线段的修改就变成无用功了。为了避免无用功的出现，我们引入标记域bj。具体操作如下：
1、擦去线段[a,b]之后，给它的左儿子和右儿子都做上标记，令它们的bj=-1。
2、每次访问一条线段，首先检查它是否被标记，若其bj=-1，则进行如下操作：
① 将该线段的状态改为未被覆盖，并把该线段设为未被标记，bj=0。
② 把该线段的左右儿子都设为被标记，bj=-1。
对线段[1,5]进行了这样的操作后就不需要对整棵线段树都进行修改了。原理很简单。以线段[3,4]为例。若以后有必要访问[3,4]，则必然先访问到它的父亲[3,5]，而[3,5]的bj=-1，因此进行①、②的操作后，[3,5]的状态变为未被覆盖，并且把他的标记传递给了他的儿子——[3,4]和[4,5]。接着访问[3,4]的时候，它的bj=-1，我们又把[3,4]的状态变为未被覆盖。可见，标记会顺着访问[3,4]的路一直传递到[3,4]，使得我们知道要对[3,4]的状态进行修改，避免了错误的产生。同时，当我们需要用到[3,4]的时候才会进行修改，如果根本不需要用它，修不修改都无所谓了，并不会影响程序的正确性。因此这种方法在保持了正确性的同时有避免了无意义的操作，提高了程序的效率。
进行标记更新的代码如下：
|
程序大致步骤如下：
插入过程 Insert
1、若该线段被标记，则调用Clear过程
2、若线段状态为被涂色，则退出过程（线段已被涂色，无需再插入它或它的子线段）
3、若涂色的区域覆盖了该线段，则该线段的状态变为被涂色，并退出过程
4、若涂色的区域与该线段的左半截的交集非空，则调用左儿子的插入过程
5、若涂色的区域与该线段的右半截的交集非空，则调用右儿子的插入过程
删除过程 Delete
1、若该线段被标记，则退出过程（该线段已被赋予被擦除的“义务”，无需再次赋予）
2、若擦除的区域覆盖了该线段，则直接将此时这个节点的标记域值改为-1
退出该过程
3、若该线段的状态为被涂色，则直接调用clear，再插入线段[a,c]和[d,b]（若该线段的状态为未被涂色，则线段[a,b]状态为被涂色，而擦除[c,d]相当于把[a,b]整段擦除，再插入[a,c]（若a<c）和[d,b]（若d<b））
①若擦除区域与该线段的左半截的交集非空，则调用左儿子的擦除过程
②若擦除区域与该线段的右半截的交集非空，则调用右儿子的擦除过程