算法复杂度

1 前言

算法时间复杂度，也就是算法的时间量度，就是在计算机上执行耗时。个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。在应用中用O表示。
一个算法是由控制结构和原操作构成的，其执行的时间取决于二者的综合效果。为了便于比较同一问题的不同算法，通常把算法中基本操作重复执行的次数（频度）作为算法的时间复杂度。

时间复杂度计算

• 计算复杂度原则
  1.去掉运行时间中的所有加法常数。
  2.只保留最高阶项。
  3.如果最高阶项存在且不是1，去掉与这个最高阶相乘的常数得到时间复杂度
  最简单的描述就是找到其中最高次项即可。
  举例：

  for (int i = 0; i < n; i++) 
       {
          for (int j = i; j < n; j++) 
          {
               // do .....
          }
     }

当 i = 0 时 里面的fo循环执行了n次，当i等待1时里面的for循环执行了n - 1次，当i 等于2里里面的fro执行了n - 2次……..所以执行的次数是：

根据我们上边的时间复杂度算法
1.去掉运行时间中的所有加法常数： 没有加法常数不用考虑
2.只保留最高阶项:　只保留
- 去掉与这个最高阶相乘的常数: 去掉 只剩下
最终这个算法的时间复杂度为
- 常数阶：一个算法没有循环语句，则算法中基本操作的执行频度与问题规模n无关，记作O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。就是和N没有关系。
- 线性阶：如果算法只有一个一重循环，则算法的基本操作的执行频度与问题规模n呈线性增大关系，记作O（n）。

    a=0;
    b=1;                      ①
    for (i=1;i<=n;i++) ②
    {  
       s=a+b;　　　　③
       b=a;　　　　　④  
       a=s;　　　　　⑤
    }

解： 语句1的频度：2,
语句2的频度： n,
语句3的频度： n-1,
语句4的频度：n-1,
语句5的频度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
- 对数阶

i=1;       ①
while (i<=n)
  i=i*2; ②

解： 语句1的频度是1,
设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
- 平方阶

 //交换i和j的内容
     sum=0；                // （一次）
     for(i=1;i<=n;i++)      // （n次 ）
        for(j=1;j<=n;j++) //（n^2次 ）
         sum++；       //（n^2次 ）
//解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
 for (i=1;i    { 
        y=y+1;         ①   
        for (j=0;j<=(2*n);j++)    
           x++;        ②      
    }

解： 语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).

• 立方阶

    for(i=0;i    {  
       for(j=0;j       {
          for(k=0;k             x=x+2;  
       }
    }

解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,…,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).

综述

最坏情况运行时间是一种保证，就是运行时间不能再坏了。在应用中，我们提到的运行时间一般是最坏情况的运行时间。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
对算法的分析一是平均时间复杂度，还有就是最坏时间复杂度，没有特殊情况下就是指最坏时间复杂度。
我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。
访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。
指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

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