AVL Trees & Huffman Tree

AVL Trees

Def.

新结点的插入可能会破坏平衡：

Rotation

left-heavy & right-heavy

将结点的平衡因子定义为：左子树高 - 右子树高

left-heavy说明平衡因子为1，right-heavy说明平衡因子为-1

下面讨论如何对 最小不平衡子树 进行调整 :

(这里为了确保所讨论的最小平衡子树以 A为根，示例中 BL，BR和 AR均为高 H的子树)

LL

RR

LR

RL

小结

左边重就往右旋

右边重则往左旋

Steps

1. 具体来说，首先自下向上找到最小的不平衡子树；
2. 然后针对这棵子树，分析不平衡原因是以上四种的哪一个；
3. 如果为：
   • LL：将最小不平衡子树的根的左孩子右旋
   • RR：将最小不平衡子树的根的右孩子左旋
   • LR：将最小不平衡子树的根的左孩子的右孩子先左旋再右旋
   • RL：将最小不平衡子树的根的右孩子的左孩子先右旋再左旋

for instance

RR型的调整

插入90，出现RR型不平衡，自下而上找到最小不平衡子树以66为根

针对66的右孩子进行左旋操作

调整结束

RL型的调整

插入63，出现RL型不平衡，自下向上找到最小不平衡子树以50为根

则针对50的右孩子的左孩子：66进行左旋+右旋

调整结束

查找效率分析

6.006的证明方法如下：

N_h表示构成一棵高度为h的AVL树的最少结点数：

第一种方法根据递推式可以粗略得到h的上限，数量级为O(lgn)

第二种根据斐波那契数列可以得到更精确的近似 max.h 约等于1.440lgn,

总之，记住含有n个结点的AVL树的最大深度为O(lgn)即可，这也意味着平衡二叉树的平均查找长度为O(lgn)

Huffman Tree

WPL

带权路径长度

Def.

Build a Huffman tree

哈夫曼树并不唯一 ：

哈夫曼编码

用一串二进制数表示信息

Optimize_Attempt1

固定长度 → 可变长

降低了树的 WPL

Optimize_Attempt2

Q：能否进一步减少编码长度，将A直接用1表示？

A：这会导致接收方解码时出现歧义

（右图树画错了，应该有三层）

小结