《图解算法》读书笔记(九) 动态规划

其实这本书我已经在读第二次了，之前的章节都没有特别深的感悟，有些东西只是温故；
而在动态规划这章节，再次地阅读却让我知新，对动态规划算法有了更深一步的理解。
好的算法就是这样经久不衰，就像好的影视剧作品，能够吸引我们再三观看，揣摩。

章节内容

• 学习动态规划
• 设计问题的动态规划解决方案

背包问题

在之前一章的背包问题中，我们找到的近似解却不是最优解。如何找到最优解？
我们这边不妨把音响$3000、笔记本电脑$2000、吉他$1500的重量分别修改为4、3、1磅。背包可装4磅的东西。

简单算法

我们需要尝试各种商品的组合，并找到价值最高的组合。这是一个幂级的复杂度

动态规划

对于背包问题，我们先解决小背包问题，再逐步解决原来的问题。
假设有如下表格

	1磅	2磅	3磅	4磅
吉他
音响
电脑
假设只有吉他可以装，因为吉他重量为1磅，所以无论背包可以装多重，最高价值都是1500。
	1磅	2磅	3磅	4磅
----	---	---	---	---
吉他	1500	1500	1500	1500
音响
电脑
现在来填充第二行，假设这时候多了音响可以装。
因为音响重量为4磅大于1,2,3，所以前面三个不变，背包为4磅的时候可以装下音响，因为音像的价格大于之前的1500，所以选择装音响。
	1磅	2磅	3磅	4磅
----	---	---	---	---
吉他	1500	1500	1500	1500
音响	1500	1500	1500	3000
电脑
这时候多了笔记本电脑可以装，我们来填充第三行。
因为笔记本电脑为3磅，前面两个不变。磅数等于3的时候因为电脑价格2000大于之前的1500，所以选择2000。
最后背包为4磅的时候，我们根据背包为3磅的时候最高价值为2000，这时候还剩下1磅可以装吉他，总价值为3500.大于之前的3000。
	1磅	2磅	3磅	4磅
----	---	---	---	---
吉他	1500	1500	1500	1500
音响	1500	1500	1500	3000
电脑	1500	1500	2000	3500
我们得到一个公式：
第i行第j列等于一下两者的最大值：

1. 上一个单元格第i-1行第j列的价值
2. 当前商品的价值+剩余空间价值

最长公共子串

cell[i][j] = word1[i] == word2[j] ? cell[i-1][j-1] + 1 : 0

最长公共子序列

cell[i][j] = word1[i] != word2[j] ? max(cell[i][j-1],cell[i-1][j]) : cell[i-1][j-1] + 1

小结

1. 需要在给定约束条件下优化某种指标，动态规划很有用
2. 问题可分解为离散子问题，可使用动态规划
3. 每种动态规划解决方案都涉及网络
4. 单个园中的值通常就是你要优化的值
5. 每个单元格都是一个子问题，因此你需要考虑如何将问题分解为子问题
6. 没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式