多边形碰撞 -- SAT方法

检测凸多边形碰撞的一种简单的方法是SAT（Separating Axis Theorem），即分离轴定理。

原理：将多边形投影到一条向量上，看这两个多边形的投影是否重叠。如果不重叠，则认为这两个多边形是分离的，否则找下一条向量来继续投影。我们不需要比较很多条向量，因为已经在数学上证明，多边形每条边的垂直向量就是我们需要的向量。

1.AABB

让我们首先以AABB开始（AABB是一种两边分别平行于X-Y轴的矩形）

判断两个AABB是否碰撞，我们只需要投影两次，分别是投影在平行于X轴和Y轴的向量上

由上图可以看见，因为在Y轴方向的投影是分离的，因此可以直接得出结论，即这两个AABB是分离的。

function AABBvsAABB(aabb1, aabb2) {
    //check X axis
    if(aabb1.xMin > aabb2.xMax)
        return false;
    if(aabb1.xMax < aabb2.xMin)
        return false;
    //check Y axis
    if(aabb1.yMin > aabb2.yMax)
        return false;
    if(aabb1.yMax < aabb2.yMin)
        return false;

    return true;
}

 效果：---点击运行---

（点击产生AABB，碰撞的变红，否则变黄）

2.圆

圆的碰撞检测也能用SAT，就是要把两个圆投影在两个圆心连线的向量上。比较半径和与圆心距离，如果半径和大于圆心距离则碰撞。

代码：

注：通常为了优化，都是用平方而不是开方（sqrt好慢的）

function CircleVsCircle(c1, c2) {
    var xSqr = c1.centerX - c2.centerX;
    xSqr *= xSqr;
    var ySqr = c1.centerY - c2.centerY;
    ySqr *= ySqr;
    //get the distance^2
    var distanceSqr = xSqr + ySqr;

    var radiusSum = c1.radius + c2.radius;

    if(distanceSqr <= radiusSum*radiusSum)
        return true;
    else
        return false;
}

效果：---点击运行---

（点击产生圆）

3.多边形

（1）找出两个多边形所有边的垂直向量；

（2）将两个多边形投影到垂直向量上，判断投影是否相交，如果不相交则两个多边形不相交，否则选下一条垂直向量继续进行投影判断。

 代码：

function PolyVsPoly(p1, p2) {
    //check the normal in p1
    for(var i = 0; i < p1.points.length-1; i++) {
        var edge = Minus(p1.points[i], p1.points[i+1]);
        var normal = Normal(edge);

        var isOverlap = CheckCollide(normal, p1, p2);
        if(!isOverlap)
            return false;
    }

    //check normal in p2
    for(var i = 0; i < p2.points.length-1; i++) {
        var edge = Minus(p2.points[i], p2.points[i+1]);
        var normal = Normal(edge);

        var isOverlap = CheckCollide(normal, p1, p2);
        if(!isOverlap)
            return false;
    }

    return true;
}

function CheckCollide(axis, p1, p2) {
    var min1 = Dot(p1.points[0], axis);
    var max1 = Dot(p1.points[0], axis);
    for(var k = 1; k < p1.points.length; k++) {
        var v = Dot(p1.points[k], axis);
        if(v > max1)
            max1 = v;
        if(v < min1)
            min1 = v;
    }
        
    var min2 = Dot(p2.points[0], axis);
    var max2 = Dot(p2.points[0], axis);
    for(var k = 1; k < p2.points.length; k++) {
        var v = Dot(p2.points[k], axis);
        if(v > max2)
            max2 = v;
        if(v < min2)
            min2 = v;
    }

    if(!IsOverlap(min1, max1, min2, max2))
        return false;

    return true;
}

效果：---点击运行---

（使用方向键来移动，碰撞的变红，否则变黄）

4.圆与多边形

（1）找出多边形每条边的垂直向量，多边形最接近圆心的点到圆形的直线的垂直向量

（2）将圆和多边形投影到垂直向量上，再进行判断。

（其实和多边形之间的碰撞很像，这里就不浪费篇幅了） 

总结：

SAT很简单，就是投影 + 重叠判断。

SAT只适用于凸体，毕竟凹体中间空缺的部分在投影后信息就消失了。

一些关于SAT的网站：

http://gamedevelopment.tutsplus.com/tutorials/collision-detection-with-the-separating-axis-theorem--gamedev-169