loj6358. 前夕

题意

设(X = {1, 2, dots, n})，(S = 2 ^ X)，求从(S)中取出一些集合（可不取），其交集为4的倍数的方案数。
(n leq {10} ^ 7)。

题解

广义容斥 + 构造好题。
设(g(x))表示取出的集合交集数恰好为(x)的方案数，(f(x))表示钦定(x)个集合一定要取的方案数。
显然，(f(x) = inom{n}{x} (2 ^ {2 ^ {n - x}} - 1))，然后(g(x))和(f(x))的关系可以用二项式反演求出，即

[g(k) = sum_{i = k} ^ n {(-1)} ^ {i - k} inom{i}{k} f(i) ]

但是二项式反演所有求(g(x))要(O(n ^ 2))的复杂度。
考虑一种巧妙的构造。
设(Ans = sum_{i = 0} ^ n f(i) a(i))。
由于显然有(Ans = sum_{i = 0} ^ n g(i) b(i))，其中(b(i) = [4 | i])。
则

[egin{aligned} Ans & = sum_{k = 0} ^ n [4 | k] sum_{i = k} ^ n {(-1)} ^ {i - k} inom{i}{k} f(i) \ & = sum_{i = 0} ^ n f(i) sum_{k = 0} ^ i {(-1)} ^ {i - k} inom{i}{k} [4|k] \ end{aligned} ]

则得出

[a(i) = sum_{k = 0} ^ i {(-1)} ^ {i - k} inom{i}{k} [4|k] \ ]

可是还不够，继续。
对于([4|k])，用单位根反演，即

[[4|k] = frac{1}{4} sum_{i = 0} ^ 3 omega_4 ^ {ik} ]

则

[egin{aligned} a(i) & = sum_{k = 0} ^ i {(-1)} ^ {i - k} inom{i}{k} frac{1}{4} sum_{l = 0} ^ 3 omega_4 ^ {lk} \ & = frac{{(-1)} ^ i}{4} sum_{k = 0} ^ i {(-1)} ^ k inom{i}{k} sum_{l = 0} ^ 3 ({omega_4 ^ l}) ^ k \ & = frac{{(-1)} ^ i}{4} sum_{l = 0} ^ 3 sum_{k = 0} ^ i inom{i}{k} {(-1)} ^ k ({omega_4 ^ l}) ^ k \ & = frac{{(-1)} ^ i}{4} sum_{l = 0} ^ 3 (1 - {omega_4 ^ l}) ^ i \ end{aligned} ]

然后这个东西就比较容易了。
直接计算

[Ans = 1 + sum_{i = 0} ^ n inom{n}{i} (2 ^ {2 ^ {n - i}} - 1) cdot frac{{(-1)} ^ i}{4} sum_{l = 0} ^ 3 (1 - {omega_4 ^ l}) ^ i ]

这个1就是所有集合都不选的方案（注意到它在(f(0))中被除去了）。
处理过程中，是可以用一些技巧，避免使用快速幂的。
所以这个复杂度就是(mathcal O(n))的，常数为4（实际肯定比这个大很多）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int power (int a, int b, int mod) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod) {
		if (b & 1) {
			ret = 1ll * ret * a % mod;
		}
	}
	return ret;
}

const int N = 1e7 + 3, mod = 998244353;
const int omega = 911660635, inv4 = 748683265;
int n, ans, f, a, w, r[4], s[4];
int fac[N], ivf[N], po[N], pw[N], pn[N];
int C (int p, int q) {
	return 1ll * fac[p] * ivf[q] % mod * ivf[p - q] % mod;
}
void prework () {
	fac[0] = ivf[0] = 1;
	for (int i = 1; i < N; ++i) {
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
	}
	ivf[N - 1] = power(fac[N - 1], mod - 2, mod);
	for (int i = N - 2; i; --i) {
		ivf[i] = 1ll * ivf[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
	po[0] = 2;
	for (int i = 1; i < N; ++i) {
		po[i] = 1ll * po[i - 1] * po[i - 1] % mod;
	}
	w = 1;
	for (int i = 0; i < 4; ++i) {
		r[i] = (1 - w + mod) % mod;
		s[i] = 1;
		w = 1ll * w * omega % mod;
	}
}
int main () {
	prework();
	cin >> n;
	for (int i = 0; i <= n; ++i) {
		f = 1ll * C(n, i) * (po[n - i] - 1 + mod) % mod;
		a = 0;
		for (int k = 0; k < 4; ++k) {
			a = (a + s[k]) % mod;
			s[k] = 1ll * s[k] * r[k] % mod;
		}
		a = 1ll * a * inv4 % mod;
		a = i & 1 ? mod - a : a;
		ans = (1ll * f * a + ans) % mod;
	}
	cout << (ans + 1) % mod << endl;
	return 0;
}