uoj328. 【UTR #3】量子破碎

题意

有一个长度为(2 ^ n)，下标依次为(0, 1, ldots, 2 ^ n - 1)的数组，你要和交互库进行若干轮操作。
每次操作开始时，数组里只有(a[x] = a[y] = frac{1}{sqrt 2} (x eq y))，剩下的元素都是0。
你要和交互库进行多次交互，求出(x oplus y)的值（保证操作过程中(x oplus y)不变）。
你可以进行两种操作：
query:
作一次询问，交互库会随机返回一个下标，返回(x)的概率是(frac{a[x] ^ 2}{sum_{i = 0} ^ {n - 1} a[i] ^ 2})，然后会开始新的一轮，交互库会重新ran一对(x, y)，保证(x oplus y)不变的前提下，对数组进行同上的赋值。
manipulate(A, i):
给出一个(2 imes 2)的实数矩阵(A)，交互库会把数组(a)更新，具体来说，即：

[egin{cases} a'[x] = A[0][0] a[x] + A[1][0] a[x + 2 ^ i] \ a'[x + 2 ^ i] = A[0][1] a[x] + A[1][1] a[x + 2 ^ i] \ end{cases} ]

要求给出的矩阵是酉矩阵，即(A A ^T = I)。此时可以证明(sum_{i = 0} ^ {n - 1} a[i] ^ 2)不变。
(n leq 16)。

题解

首先单方面感谢yhx大佬，这份题解主要参考了他的博客。
这个manipulate操作很像fwt_xor，而fwt_xor的矩阵是

[egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \ end{bmatrix} ]

这个矩阵不是酉矩阵。但是只要变换一下，乘个缩放因子即可

[egin{bmatrix} frac{1}{sqrt 2} & frac{1}{sqrt 2} \ frac{1}{sqrt 2} & -frac{1}{sqrt 2} \ end{bmatrix} ]

此时，设原序列为({a_i})，变换后序列为({a'_k})，根据结论，有

[a'_k = (frac{1}{sqrt 2}) ^ {n} sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ {|i cap k|} a_i ]

则根据已知，得

[a'_k = (frac{1}{sqrt 2}) ^ {n + 1} ((-1) ^ {|x cap k|} + (-1) ^ {|y cap k|}) ]

显然，({a'_k} ^ 2 = 0)或({a'_k} ^ 2 = frac{1}{2 ^ {n - 1}})。
注意到(sum {a'_k} ^ 2 = sum {a_k} ^ 2 = 1)，因此有(2 ^ {n - 1})个(k)满足(a'_k = 0)和(2 ^ {n - 1})个(k)满足(a'_k eq 0)。
此时，调用一次query，会等概率返回(2 ^ {n - 1})个满足(a'_k eq 0)的(k)中的一个。
又因为当(a'_k eq 0)时，((-1) ^ {|x cap k|} = (-1) ^ {|y cap k|})，可以得到

[|(x oplus y) cap k| equiv 0 pmod 2 ]

注意到题目保证(x oplus y)始终不变，那么我们在得到一个(k)后，((x oplus y) cap k)的二进制中一定有偶数个1。
如果(k)是随机返回的，我们期望每次排除一半的位置。
期望(mathcal O(n))轮后找到答案，所以总操作次数期望(mathcal O(n ^ 2))。
期望时间复杂度为(mathcal O(n 2 ^ n))。

#include "quantumbreak.h"
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1 << 16;
const double s2 = 1 / sqrt(2.0);
double M[2][2] = {{s2, s2}, {s2, -s2}};
int query_xor(int n, int t) {
	int S = (1 << n) - 1; bitset <N> vis;
	for (int i = 1; i <= S; ++i) {
		vis.set(i);
	}
	for ( ; vis.count() > 1; ) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			manipulate(M, i);
		}
		for (int r = query(), i = 1; i <= S; ++i) {
			if (__builtin_parity(i & r)) {
				vis.reset(i);
			}
		}
	}
	return vis._Find_first();
}