前言
- 莫队算法是一种非常经典优雅的
暴力算法
- 而在莫队算法中，最值得探讨的问题自然而然就是：这个块的大小到底应该怎么分？
- 有很多 (OIer) 将它看成一个玄学问题，
非常有道理，但其实我们是能够找到规律的。
普通莫队
- 普通莫队最佳分块大小为 (sqrt n) 。
- 为什么？因为暴力分块的大小为 (sqrt n) ？并不是。
- 那为什么？
- 我们不妨设块的大小为 (s) ，每个块的询问次数为 (q_i) ，序列长度为 (n) ，询问总次数为 (m) 。那么块的总数就是 (frac{n}{s}) ，对于块 (i) 来说，其复杂度为 (q_icdot s+n) 。
- 那么总复杂度为 (sum_{i=1}^{n/s} q_icdot s+n=ms+ncdot frac{n}{s}) 。因为一般 (n) 和 (m) 都是等数量级的，我们可以大致忽略其大小差异，所以总复杂度变为 (ncdot s+n^2cdot frac{1}{s}) 。
- 利用基本不等式可得当 (ncdot s=n^2cdot frac{1}{s}) 即 (s=sqrt n) 时，原式有最小值 (nsqrt n) 。
- 这就是普通莫队算法分块的大小以及时间复杂度的来历。
带修莫队
- 带修莫队最佳分块大小为 (n^{frac{2}{3}}) ，
可惜我不会证明。- 所以我就仅仅
装模作样地分析一番。
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一开始自学带修莫队的时候有一个疑问，为什么要将右端点也分块？
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假如右端点不分块，仍然设块的大小为 (s) ，序列长度为 (n) ，询问总次数为 (m) ，修改总次数为 (k) 。那么块的总数还是 (frac{n}{s}) ，此时得到每个块 (i) 的时间复杂度为 (q_icdot s+n+q_icdot k) 。
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所以总时间复杂度为 (sum_{i=1}^{n/s} q_icdot s+n+q_icdot k=mcdot s+ncdot frac{n}{s}+mcdot k) 。此时我们发现最后面的一项始终为定值，无法通过改变块的大小来改变，所以时间复杂度为 (O(mk)) 。
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如果分块呢？我们不妨将两个块看成一个整体，表示左右端点在这两个块里的一种情况。每个整体 ((i,j)) 的询问次数为 (q_{ij}) 。但此时整体的总数就不是 (frac{n}{s}) ，而是 (left(frac{n}{s} ight)^2) 了，对于块 ((i,j)) 来说，其复杂度为 (2 imes q_{ij}cdot s+n) 。
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所以总时间复杂度为 (sum_{i=1}^{(n/s)^2} 2 imes q_{ij}cdot s+n=2 imes mcdot s+ncdot frac{n^2}{s^2}) 。
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这个时候我们发现每一项都与块的大小 (s) 有关，故可以通过选择一个恰当的块的大小来得到最优的时间复杂度。
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(Update:(on:2021.3.15)::) 当时可能是脑子抽了……像普通莫队一样直接用基本不等式搞上去就好了。
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忽略常数并设 (m=n) 可得：(ncdot s+frac{n^3}{s^2}geq sqrt{frac{n^4}{s}}) ，当且仅当 (ncdot s=frac{n^3}{s^2}Rightarrow s=n^{frac{2}{3}}) 时取等。此时 (sqrt{frac{n^4}{s}}=sqrt{n^{frac{10}{3}}}=n^{frac{5}{3}}) 。
证毕。
——2021年2月18日