树链剖分

树链剖分简述

把一棵树剖分为若干条链，然后利用数据结构
(树状数组，SBT，Splay，线段树等等)去维护每一条链，复杂度为O(logn)

第一步：对树进行轻重链的划分

定义size( x )为以 x 为根节点的子树的节点个数
令 v 为 u 的儿子中size()值最大的节点
，那么边( u , v )就是重边，其余同深度的边为轻边

有两条重要的性质
(1) 在轻边 ( u , v )中size( v )<=size( v )/2
(2) 在根节点到某点的路径中，
有不超过 logn 条轻边和 logn 条重路径

剖分过程分为两次 bfs 或者 两次 dfs

如果是两次 dfs
第一次 dfs 为记录所有重边
第二次 dfs 为连接重边形成重链
具体过程就是以根节点为起点，拉着重边向下扩展
不在当前重链上的节点，以该节点为起点向下重新拉一条重链

剖分完毕后，每条重链都相当于一段区间
然后用数据结构去维护每一段区间

把所有重链首尾相连，放到数据结构上，然后维护整体

这里会用到很多数组
介绍其作用

size [] : 保存以节点为根的子节点个数
top [] : 保存当前节点所在的重链的顶端节点的编号
son [] : 保存节点的重儿子的编号
dep[] : 保存当前节点的深度
fath[] : 保存父亲节点的编号
tid [] : 保存树中每个节点剖分后的新编号
rank[] : 保存节点在线段树中的位置

代码 ：剖分

void dfs1(int u,int father,int d)   
{   
    dep[u]=d;   
    fa[u]=father;   
    siz[u]=1;   
    for(int i=head[u];~i;i=next[i])   
    {   
        int v=to[i];   
        if(v!=father)   
        {   
            dfs1(v,u,d+1);   
            siz[u]+=siz[v];   
            if(son[u]==-1||siz[v]>siz[son[u]])   
                son[u]=v;   
       }   
    }   
}   

void dfs2(int u,int tp)   
{   
    top[u]=tp;   
    tid[u]=++tim;   
    rank[tid[u]]=u;   
    if(son[u]==-1) return;   
    dfs2(son[u],tp);   
    for(int i=head[u];~i;i=next[i])   
    {   
        int v=to[i];   
        if(v!=son[u]&&v!=fa[u])   
            dfs2(v,v);   
    }   
}   
 

P3384 【模板】树链剖分

题目描述

如题，已知一棵包含N个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：
操作1： 格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
操作2： 格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
操作3： 格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
操作4： 格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和

输入输出格式:

第一行包含4个正整数N、M、R、P，分别表示树的结点个数、操作个数、根节点序号和取模数（即所有的输出结果均对此取模）。
接下来一行包含N个非负整数，分别依次表示各个节点上初始的数值。
接下来N-1行每行包含两个整数x、y，表示点x和点y之间连有一条边（保证无环且连通）
接下来M行每行包含若干个正整数，每行表示一个操作，格式如下：
操作1： 1 x y z
操作2： 2 x y
操作3： 3 x z
操作4： 4 x

输出格式：

输出包含若干行，分别依次表示每个操作2或操作4所得的结果（对P取模）

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 2 24
7 3 7 8 0
1 2
1 5
3 1
4 1
3 4 2
3 2 2
4 5
1 5 1 3
2 1 3

输出样例#1：

2
21

说明

时空限制：1s，128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=10
对于70%的数据：N<=1000，M<=1000
对于100%的数据：N<=100000，M<=100000
（其实，纯随机生成的树LCA+暴力是能过的，可是，你觉得可能是纯随机的么233）

样例说明：

树的结构如下：

各个操作如下：

故输出应依次为2、21(重要的事情说三遍：记得取模)

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<iostream> 
#define N 150000 
#define For(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i) 
#define lson(x) (x<<1) 
#define rson(x) ((x<<1)+1) 
  
using namespace std; 
typedef long long LL; 
int n,m,r,M;
 
struct Tree{ 
    LL l[N*4],r[N*4],w[N*4],sum[N*4]; 
    void upd(int x){sum[x]=(sum[lson(x)]+sum[rson(x)]+w[x]*(r[x]-l[x]+1))%M;} 
    void build(int p,int L,int R) { 
        l[p]=L;r[p]=R;w[p]=0; 
        if(L==R)return; 
        int MID=(L+R)>>1; 
        build(lson(p),L,MID); 
        build(rson(p),MID+1,R); 
    } 
    void ins(int p,int x,int v) { 
        int L=l[p],R=r[p];int MID=(L+R)>>1; 
        if(L==R){ 
            w[p]+=v;w[p]%=M;upd(p);return; 
        } 
        if(x<=MID)ins(lson(p),x,v); 
        else      ins(rson(p),x,v); 
        upd(p); 
    } 
    void add(int x,int L,int R,int v){ 
        int mid=(l[x]+r[x])>>1; 
        if(l[x]==L&&r[x]==R) 
        { 
            w[x]+=v;w[x]%=M;upd(x);return; 
        } 
        if(R<=mid)add(lson(x),L,R,v); 
        if(L>mid)add(rson(x),L,R,v); 
        if(R>mid&&L<=mid){ 
            add(lson(x),L,mid,v); 
            add(rson(x),mid+1,R,v); 
        } 
        upd(x); 
    } 
    int getsum(int x,int L,int R){ 
        int mid=(l[x]+r[x])>>1;int tans=w[x]*(R-L+1)%M; 
        if(l[x]==L&&r[x]==R) 
            return sum[x]; 
        if(R<=mid)return (getsum(lson(x),L,R)+tans)%M; 
        if(L>mid)return (getsum(rson(x),L,R)+tans)%M; 
        if(R>mid&&L<=mid) 
            return (getsum(lson(x),L,mid)+getsum(rson(x),mid+1,R)+tans)%M; 
    } 
}T; 
  
struct Graph{ 
    struct E{ 
        int next,to; 
    }edge[N*2]; 
    int head[N];int cnt; 
    bool vis[N];LL v[N],size[N],son[N],top[N],id[N],deep[N],fa[N],xid[N]; 
    int sign; 
    void adde(int u,int v){ 
        edge[++cnt].to=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt; 
        edge[++cnt].to=u;edge[cnt].next=head[v];head[v]=cnt; 
    } 
    void dfs1(int u){ 
        size[u]=1;int S=0; 
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){ 
            int v=edge[i].to; 
            if(vis[v])continue;vis[v]=1; 
            deep[v]=deep[u]+1;fa[v]=u; 
            dfs1(v); 
            size[u]+=size[v]; 
            if(!S||size[v]>size[S])S=v; 
        } 
        son[u]=S; 
    } 
    void dfs2(int u,int tp){ 
        id[u]=++sign; 
        top[u]=tp; 
        if(!son[u]){xid[u]=sign;return;} 
        vis[son[u]]=1; 
        dfs2(son[u],tp); 
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){ 
            int v=edge[i].to;if(vis[v])continue; 
            vis[v]=1;dfs2(v,v); 
        } 
        xid[u]=sign; 
    } 
    void prework(){ 
        cin>>n>>m>>r>>M; 
        For(i,1,n)scanf("%d",&v[i]); 
        For(i,1,n-1) 
        { 
            int u,v;scanf("%d%d",&u,&v); 
            adde(u,v); 
        } 
        vis[r]=1; 
        dfs1(r); 
        memset(vis,0,sizeof(vis)); 
        vis[r]=1; 
        dfs2(r,r); 
        T.build(1,1,n); 
        For(i,1,n)T.ins(1,id[i],v[i]); 
    } 
    void add1(int u,int v,int w){ 
        if(deep[top[u]]<deep[top[v]])swap(u,v); 
        while(top[u]!=top[v]){ 
            T.add(1,id[top[u]],id[u],w); 
            u=fa[top[u]]; 
            if(deep[top[u]]<deep[top[v]])swap(u,v); 
        } 
        if(deep[u]<deep[v])swap(u,v); 
        T.add(1,id[v],id[u],w); 
    } 
    int get(int u,int v){ 
        int ans=0; 
        if(deep[top[u]]<deep[top[v]])swap(u,v); 
        while(top[u]!=top[v]){ 
            ans=(ans+T.getsum(1,id[top[u]],id[u]))%M; 
            u=fa[top[u]]; 
            if(deep[top[u]]<deep[top[v]])swap(u,v); 
        } 
        if(deep[u]<deep[v])swap(u,v); 
        ans=(ans+T.getsum(1,id[v],id[u]))%M; 
        return ans%M; 
    } 
    void add2(int u,int w){ 
        T.add(1,id[u],xid[u],w); 
    } 
    int get2(int u){ 
        return T.getsum(1,id[u],xid[u])%M; 
    } 
}G; 
  
int main(){ 
    G.prework(); 
    For(t,1,m){ 
        int opt; 
        scanf("%d",&opt); 
        int u,v,w; 
        if(opt==1){ 
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 
            G.add1(u,v,w); 
        } 
        if(opt==2){ 
            scanf("%d%d",&u,&v);printf("%d
",G.get(u,v)); 
        } 
        if(opt==3){ 
            scanf("%d%d",&u,&w);G.add2(u,w); 
        } 
        if(opt==4){
            scanf("%d",&u);printf("%d
",G.get2(u)); 
        } 
    } 
    return 0; 
}