P2401 不等数列
题目描述
将1到n任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有k个“<”。答案对2015取模。
注：1~n的排列指的是1~n这n个数各出现且仅出现一次的数列。
输入输出格式
输入格式：
第一行2个整数n,k。
输出格式：
一个整数表示答案。
输入输出样例
输入样例#1：
5 2
输出样例#1：
66
说明
对于30%的数据：n <= 10
对于100%的数据：k < n <= 1000
这个是一个比较那啥的递推(dp)做法
具体就是考虑一个(1-n)自然数的排列
然后其中每两个相邻的数之间存在一定的大小关系
然后考虑下一个数:(n+1)
那么他比数列中所有的数都大
如果我们将这个(n+1)插入到数列中的某个位置
如果将其插入到产生<关系的两侧
那么产生的<关系的数量将不会改变
那么所有的<两端一共只有j+1个位置
同样
如果将n+1插入到一个>关系的两侧，会增加一个<关系
所有的>关系的两侧只有i-j个位置
那么根据这个关系来递推答案
设f[i][j]表示在(1-i)的所有排列中，有k个<关系的排列有多少个
那么递推式
[f_{ij}=(j+1) imes f_{i-1 j}+(i-j) imes f_{i-1j-1}
]
所以
[f(i,j) =
egin{cases}
1 & mbox{i=0, j=0} \
(j+1) imes f(i-1,j)+(i-j) imes f(i-1,j-1)& mbox{j<i}
end{cases}
]
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 15
using namespace std;
int f[N][N];
int n,k;
int main(){
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;++i)
f[i][0]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=min(i-1,k);++i)
f[i][j]=((j+1)*f[i-1][j]+(i-j)*f[i-1][j-1])%2015;
printf("%d",f[n][k]%2015);
return 0;
}