【算法】快速排序/数组第K小的元素

快速排序

和归并排序一样，也是采用分治(Divide and Conquer)思想。分为三步：

分解：将数组A[p...q]划分成两个数组A[p..r-1]和A[r+1..q]，使得A[p..r-1]中的每个元素都小于等于A[r]，并且A[r+1..q]中所有元素大于等于A[r]，A[r]称为主元。

解决：递归调用快速排序，对两个子数组进行排序

合并：不需要合并操作，子数组采用原址排序，已经有序。

和归并排序相比，归并排序主要工作在于合并操作，而快速排序在于划分。划分数组的过程如下描述

PARTITION(A,p,q)
	x = A[p]
	i = p;
	for j = p+1 to q
		if A[j] <= x
			i = i+1
			exchange A[i] A[j]
	exchange A[p] A[i]

详细的划分过程如图所示

经过一次partition划分，分成两个数组A[p..r-1]和A[r+1..q]，使得A[p..r-1]中的每个元素都小于等于A[r]，并且A[r+1..q]中所有元素大于等于A[r]，r为partition的返回值

将数组A进行划分的关键代码

private int partition(int[] a, int p, int q) {
		int i = p, j = p + 1;
		while (j <= q) {
			if (a[j] <= a[p]) {
				i++;
				swap(a, i, j);
			}
			j++;
		}
		swap(a, i, p);
		return i;
	}

于是，快速排序的算法描述为

public static void quickSort(int[] a, int p, int q) {
		if (p < q) {
			int r = partition(a, p, q);
			quickSort(a, p, r - 1);
			quickSort(a, r + 1, q);
		}
	}

快速排序的性能：

快速排序在再坏情况下，运气实在糟透了，每次都出现不平等的划分，将其划分成了1个元素和n-1个元素，于是有T(n)=T(n-1)+T(1)+θ(n)，则：T(n)=O(n^2)

最好情况下,我们假设每次划分都是平等划分，即T(n)=2T(n/2)+θ(n)，于是T(n)=O(nlgn).

可以证明，只要是常数比例的划分，算法的运行时间都是T(n)=O(nlgn)。因此，快速排序的平均运行时间更接近于其最好情况而不是最坏情况。

为了保证每次划分出现常数比例的划分，在算法中引入随机性。

private int randomPartition(int[] a, int p, int q) {
		int i = (int) (Math.random() * (q - p) + p);
		swap(a, p, i);
		return partition(a, p, q);
	}

可以证明，快速排序的期望运行时间为T(n)=O(nlgn)，最坏运行时间为T(n)=O(n^2)

同时，快速排序也是不稳定的排序算法，例如A=[2，3，1，2]，经过第一次划分后，划分为[2，1，2，3]，这时的r位于下标2处，且与A中的两个2的顺序相比已经交换过一次了。两个2逆序。

关于找数组第k小的数

其实没看算法的时候我觉得需要排序，然后可以在O(1)的时间里面找到第k小的数，学习了算法就不能犯这样的错误啦，常用的好的排序算法比如快速排序，它的时间复杂度为O(nlogn)。事实上我们可以在O(n)的时间内找到数组的第k小的元素。

答案就在上面讲的快速排序中，事实上，在上面的快速排序的划分过程中其实已经产生了第K小的数。

可以参考下图所示

获得数组第k小的数的关键代码

public static int getKthValue(int[] a, int p, int q, int k) {
		if (p == q) return a[p];
		int r = randomPartition(a, p, q);
		int i = r - p + 1;// r是当前序列里面第i小的数字
		if (i == k) {
			return a[r];
		} else if (k < i) {
			return getKthValue(a,p,r-1,k);
		} else return getKthValue(a,r+1,q,k - i);
	}

这种算法的时间复杂度可以达到期望为线性。E[T(n)]=O(n)