HDU 2824 The Euler function

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2824

欧拉函数+预处理

题目大意：给定两个整数a,b，计算a、b之间的欧拉函数值。

算法分析：

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8) = 4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p) = p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n) = (p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn) = φ(m)φ(n).

　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k) = (p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若 ( N%a == 0 && (N/a)%a == 0 ) 则有：E(N) = E(N/a)*a;

　　若 ( N%a == 0 && (N/a)%a != 0 ) 则有：E(N) = E(N/a)*(a-1);

下面为递推求欧拉函数phi(i)的模版

/*==================================================*\ 
 |            递推求欧拉函数phi(i)
\*==================================================*/ 
for  (i = 1; i <= maxn; i++)
    phi[i] = i; 
for  (i = 2; i <= maxn; i += 2)
    phi[i] /= 2; 
for  (i = 3; i <= maxn; i += 2)
    if(phi[i] == i)
    {
        for  (j = i; j <= maxn; j += i) 
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); 
    }

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
#define maxn 3000005
__int64 phi[maxn];
void Euler()
{
    int i,j;
    for(i = 1; i <= maxn; i++) 
        phi[i] = i; 
    for(i = 2; i <= maxn; i += 2)
        phi[i] /= 2;
    for(i = 3; i <= maxn; i += 2)
        if(phi[i] == i) 
        { 
           for  (j = i; j <= maxn; j += i) 
               phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); 
        } 
    for(i = 2;i <= maxn;i++)
    {
        phi[i] += phi[i-1];
    }
}
int main()
{
    Euler();
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b) != EOF)
        printf("%I64d\n",phi[b] - phi[a-1]);
    return 0;
}