最近在看《剑指Offer》，面试题32的题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。
对于书中说的不考虑时间效率的解法很好理解，可以直接完成，但是对于书中介绍的另一种方法，没有理解，于是按照自己的思路进行了分析。
1位数，1-9中，1一共出现了1次；
2位数，10-99中，10-19的十位上一共出现了10*1=10次，对于每个十位开头的数字10-19、20-29，每个数个位上出现的是1-9中1出现的次数，共有9个区间9*1=9次；
3位数，100-999，100-199百位上出现了10**2=100次，对于每个百位数开头，例如100-199，200-299，低位上其实就是0-99这个区间上1出现的次数，一共9个区间 9*19=171次；
由此推测，对于1-9，10-99，100-999，每个n位数中包含1的个数公式为：
f(1) = 1
f(2) = 9 * f(1) + 10 ** 1
f(3) = 9 * f(2) + 10 ** 2
f(n) = 9 * f(n-1) + 10 ** (n-1)
通过以上分析，我们可以确定对于任意一个给定的数，例如23456这个5位数，10000之前的数中包含的个数是确定的了，为f(1)+f(2)+f(3)+f(4),这是一个递归的过程，对此可以求出1-4位中包含1的总数，函数如下所示：
1 def get_1_digits(n): 2 """ 3 获取每个位数之间1的总数 4 :param n: 位数 5 """ 6 if n <= 0: 7 return 0 8 if n == 1: 9 return 1 10 current = 9 * get_1_digits(n-1) + 10 ** (n-1) 11 return get_1_digits(n-1) + current
通过上面的分析，我们知道了23456中，1-10000之间一共出现了多少个1.下一步需要分析10000-23456中包含的1.
我们首先把最高位单独拿出来分析一下，求出最高位上1的个数，如果最高位是1，则最高位上一共会出现的1的次数是低位上数字+1，例如12345，最高位上一共出现了2346个1；如果最高位大于1，则会一共出现的次数是10000-19999一共10**4个数。
然后，根据最高位的不同，计算出该高位前面的相同位数范围中的所有数中1的个数。例如对于34567，需要计算出10000-19999，20000-29999中一的个数，这时候计算一的个数，也就是计算0-9999中1的个数，这就可以转化成上面的f(n)来计算了，调用上面函数可以直接得到，然后用得到的值和最高位和1的差值（这里最高位是3）相乘就可以了。
分析完上面的部分后，我们现在只剩下最高位后面的部分了，我们发现剩下的部分还是一个整数，例如23456剩下了3456，这时候直接使用递归处理剩下的3456就行了。具体代码如下：
1 def get_1_nums(n): 2 if n < 10: 3 return 1 if n >= 1 else 0 4 digit = get_digits(n) # 位数 5 low_nums = get_1_digits(digit-1) # 最高位之前的1的个数 6 high = int(str(n)[0]) # 最高位 7 low = n - high * 10 ** (digit-1) # 低位 8 9 if high == 1: 10 high_nums = low + 1 # 最高位上1的个数 11 all_nums = high_nums 12 else: 13 high_nums = 10 ** (digit - 1) 14 all_nums = high_nums + low_nums * (high - 1) # 最高位大于1的话，统计每个多位数后面包含的1 15 return low_nums + all_nums + get_1_nums(low)
对于上面使用的get_digits函数，是用来求给定的n是几位数的。代码如下：
1 def get_digits(n): 2 # 求整数n的位数 3 ret = 0 4 while n: 5 ret += 1 6 n /= 10 7 return ret
为了比较运行的效率，我用每次遍历循环每个数中1的个数的方法进行了次数比较，发现使用以上方法效率提高了很多的，给定的数越大，效率提升越明显。常规解法如下：
1 def test_n(num): 2 # 常规方法用来比较 3 ret = 0 4 for n in range(1, num+1): 5 for s in str(n): 6 if s == '1': 7 ret += 1 8 return ret
使用下面的代码进行了测试，发现效率提升非常明显：
1 if __name__ == '__main__': 2 test = 9923446 3 import time 4 t = time.clock() 5 print test_n(test) 6 print time.clock() - t 7 t1 = time.clock() 8 print get_1_nums(test) 9 print time.clock() - t1
运行结果如下，发现运行速率提升了很多很多倍：
6970095 18.284745 6970095 0.000223999999999
对于该问题的实现源代码，请在这里获取。