2017.12.5 算法分析----棋盘覆盖问题

棋盘覆盖问题

如何应用分治法求解棋盘覆盖问题呢？

分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格，
从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。k>0时，可将2^k×2^k的棋盘划分为4个2^（k-1）×2^（k-1）的子棋盘，
由于原棋盘只有一个特殊方格，所以，这4个子棋盘中只有一个子棋盘包含该特殊方格，其余3个子棋盘中没有特殊方格。
为了将这3个没有特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，以便采用递归方法求解，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，
从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。

利用分治的方法

分治实现的三步骤：

划分问题：将2k∗2k的棋盘划分为2k−1∗2k−1这样的子棋盘4块。
递归求解：递归填充各个格子，填充分为四个情况，在下面会有解释，递归出口为k=0也就是子棋盘方格数为1。
合并问题：不需要合并子问题。
递归填充的四种情况
如果黑方块在左上子棋盘，则递归填充左上子棋盘；否则填充左上子棋盘的右下角，将右下角看做黑色方块，然后递归填充左上子棋盘。
如果黑方块在右上子棋盘，则递归填充右上子棋盘；否则填充右上子棋盘的左下角，将左下角看做黑色方块，然后递归填充右上子棋盘。
如果黑方块在左下子棋盘，则递归填充左下子棋盘；否则填充左下子棋盘的右上角，将右上角看做黑色方块，然后递归填充左下子棋盘。
如果黑方块在右下子棋盘，则递归填充右下子棋盘；否则填充右下子棋盘的右下角，将左上角看做黑色方块，然后递归填充右下子棋盘。

所以得出一个算法就是：

设T(k)是算法ChessBoard覆盖一个2^k×2^k棋盘所需时间，从算法的划分
策略可知，T(k)满足如下递推式：
T(k) = 1 当k=0时
T(k) = 4T(k-1) 当k>0时
解此递推式可得T(k)=O(4^k)。

代码实现：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>     
using namespace std; 

int tile = 1;//全局变量 骨牌编号
int Board[4][4];//棋盘
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size);

int main()
{
    for(int i=0; i<4; i++)
    {
        for(int j=0; j<4; j++)
        {
            Board[i][j] = 0;
        }
    }

    ChessBoard(0,0,2,3,4);

    for(int i=0; i<4; i++)
    {
        for(int j=0; j<4; j++)
        {
            cout<<Board[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

/**
 * tr : 棋盘左上角的行号，tc棋盘左上角的列号
 * dr : 特殊方格左上角的行号，dc特殊方格左上角的列号
 * size ：size = 2^k 棋盘规格为2^k*2^k
 */
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
{
    if(size == 1)
    {
        return;
    }
    int t = tile++;//L型骨牌编号
    int s = size/2;//分割棋盘

    //覆盖左上角子棋盘
    if(dr<tr+s && dc<tc+s)//特殊方格在此棋盘中
    {
        ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盘中
    {
        //用编号为t的骨牌覆盖右下角
        Board[tr+s-1][tc+s-1] = t;
        //覆盖其余方格
        ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
    }

    //覆盖右上角子棋盘
    if(dr<tr+s && dc>=tc+s)//特殊方格在此棋盘中
    {
        ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盘中
    {
        //用编号为t的骨牌覆盖左下角
        Board[tr+s-1][tc+s] = t;
        //覆盖其余方格
        ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }

    //覆盖左下角子棋盘
    if(dr>=tr+s && dc<tc+s)//特殊方格在此棋盘中
    {
        ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盘中
    {
        //用编号为t的骨牌覆盖右上角
        Board[tr+s][tc+s-1] = t;
        //覆盖其余方格
        ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
    }

    //覆盖右下角子棋盘
    if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)//特殊方格在此棋盘中
    {
        ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盘中
    {
        //用编号为t的骨牌覆盖左上角
        Board[tr+s][tc+s] = t;
        //覆盖其余方格
        ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }

}