HDU - 6760 Math is Simple （差分，莫比乌斯函数）
题目链接：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6760
Problem Description
Here is a simple math. You are given an integer n. Your task is to calculate the following:
思路：
[F(n)=sum_{1le a< bleq n\gcd(a,b)=1\ a+bge n}{frac{1}{ab}}
]
我们尝试递推求(F(n))，
思考发现，从(F(n-1))转移到(F(n))需要曾增加 (a+b=n)的方案，减去(a+b=n-1)的方案。
即：
[F(n)=F(n-1)+sum_{1le a< bleq n\gcd(a,b)=1\ a+b=n}{frac{1}{ab}}-sum_{1le a< bleq n-1\gcd(a,b)=1\ a+b=n-1}{frac{1}{ab}}
]
注意：上式中(1le a< bleq n,1le a< bleq n-1)，
其实意义上严格的写法应该是(1le a< b< n)，但因为(b=n)时，(mathit a)无取值，所以是等价的。
观察到右式中只有(n,n-1)之差，所以我们可以设：
[g(n)=sum_{1le a< bleq n\gcd(a,b)=1\ a+b=n}{frac{1}{ab}}
]
又因为：
[frac{1}{ab}=frac{1}{a(n-a)}=frac{1}{n}(frac{1}{a}+frac{1}{n-a})=frac{1}{n}(frac{1}{a}+frac{1}{b})
\ \
gcd(a,b)=gcd(a,a+b)=gcd(a,n)
]
所以：
[g(n)=sum_{1le a le n \gcd(a,n)=1}{frac{1}{a}}
]
所以：
[F(n)=F(n-1)+g(n)-g(n-1)
\
F(n-1)=F(n-2)+g(n-1)-g(n-2)
\
F(n-2)=F(n-3)+g(n-2)-g(n-3)
\
dots
]
所以：
[F(n)=g(n)+F(2)-g(2)
]
加入可得：
[F(2)=frac{1}{2}\
g(2)=0
\
F(n)=frac{1}{n}*g(n)+frac{1}{2}
]
因此问题转化为求(g(n))
[g(n)=sum_{1le a le n \gcd(a,n)=1}{frac{1}{a}}
\
=sum_{1le a le n}{frac{1}{a}[gcd(a,n)=1]}
]
莫比乌斯函数有性质：
[sum_{d|n}{mu(d)}=egin{cases} 1,& n=1 \ 0,& n>1 end{cases}
\
So:
[gcd(a,n)=1]=sum_{d|gcd(a,n)}{mu(d)}
]
[∴ g(n)=sum_{1le a le n}frac{1}{a} {sum_{d|gcd(a,n)}{mu(d)}}
]
我们将(g(n))改写为枚举(mathit d) 的形式，
因为：d是n的因子，又是a的因子 。a是([1,n])中d的倍数，即： (frac{1}{a}=frac{1}{d*i})
[∴g(n)=sum_{d|n}mu(d)sum_{i=1}^{n/d}{frac{1}{id}}
]
将右侧的(mathit d) 提出来，
[g(n)=sum_{d|n}{mu(d)frac{1}{d} sum_{i=1}^{n/d}{frac{1}{i}}}
\
Def：S(x)=sum_{i=1}^{x}{frac{1}{x}}
\∴
g(n)=sum_{d|n}{mu(d)frac{1}{d}S(n/d)}
]
而(S(x))我们可以通过(O(n))预处理出来，
又因为内存限制，开(1e8) 大小的int数组，大概消耗$ 350Mb$，所以只能开一个(1e8)的数组，
(mu(n))我们就只能(O(sqrt{n}+2^{pd(n)}))时间复杂度求解，
其中(pd(n))是n的素因子种类数，在(nleq 10^8)，(pd(n)leq 8)。即前8个质数相乘大于(1e8)。
因为一个数(mathit x)的某个质因子次幂大于1时，(mu(x)=0)，所以我们只需要(O(sqrt n))得到(mathit n) 的所有质因子，然后(O(2^{pd(n)}))二进制枚举所有(mu(d) ot=0)的(mathit d) 即可，即一个因子取或不取。
所以本题的时间复杂度为：
(O(10^8+T*(sqrt{n}+2^{pd(n)}))) 大概在(2e8)范围内，可以接受。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), ' ', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x) if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("
");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("
");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '
' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '
' : ' ');}}
const int maxn = 100000010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
const int mod = 998244353;
int inv[maxn];
// inv[i]= (1/i) % mod
int ans;
int p[30];
int cnt;
int n;
void dfs(int pos, int now, int u)
{
if (pos > cnt)
{
ans = (ans + 1ll * u * ((inv[now] - inv[now - 1] + mod) % mod) % mod * inv[n / now ] % mod) % mod;
return ;
}
dfs(pos + 1, now, u);
dfs(pos + 1, now * p[pos], mod - u);
}
int main()
{
#if DEBUG_Switch
freopen("C:\code\input.txt", "r", stdin);
freopen("C:\code\output.txt", "w", stdout);
#endif
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++)
inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
for (int i = 2; i < maxn; i++)
inv[i] = ( inv[i] + inv[i - 1]) % mod;
int t;
t = readint();
while (t--)
{
ans = 0ll; cnt = 0;
n = readint();
if (n <= 2)
{
printf("%d
", (inv[2] - 1 + mod) % mod);
continue;
}
int temp = n;
for (int i = 2; i * i <= temp; ++i)
{
if (temp % i == 0)
{
p[++cnt] = i;
while (temp % i == 0)
temp /= i;
}
}
if (temp > 1)
p[++cnt] = temp;
dfs(1, 1, 1);
ans = (1ll * ans * ((inv[n] - inv[n - 1] + mod) % mod)) % mod;
ans = (ans + ((inv[2] - 1 + mod) % mod)) % mod;
printf("%d
", ans );
}
return 0;
}