各位读者大家好，今天要介绍一个非常有名的图论问题，名字就是Influence maximization（影响最大化问题）。首先简要介绍一下这个问题：在一个社交网络图中寻找固定数量的节点，使得这些节点对所有节点的影响值尽可能的大。这个问题由于在病毒式营销，谣言监控，舆情分析等活动之中有巨大的应用，所以在过去的几十年，已经被广泛的研究过了。举个例子:一家化妆品公司想要通过送给一些用户免费产品的形式来推广产品，这些用户如何选择就可以采用解决Influence maximization问题的思路来进行。这个问题首先是被Kempe首先提出来的，他提出了两种模型来解决这个问题，第一个是independent cascade model （独立级联模型），第二个是 linear threshold model（线性阈值模型），直到现在为止，解决这个问题的很多方法都是在这两种模型上来进行优化，也有很多人是通过提出新的模型来模拟现实世界之中的信息传过程。
首先对这个问题给出形式化的定义：输入一个有向图G = (V,E) ，V代表节点，E代表有向边，每一条边有一个权值 ∈ [0,1]，代表源点对终点的影响因子(源点有多大的几率对终点产生影响)。定义参数向量θ=( ) e∈E 代表每一条边上的影响因子。我们定义 (S)为影响传播函数，（ (S)代表从S出发能传播到的所有节点数目的期望值） ,其中L代表图G的一个子图， [L]代表在参数向量θ下子图L出现的概率（每一条边出现的概率就是传播因子）。RL（S）代表在子图L中从S节点能到达所有节点的个数。
Influence maximization问题就是要找到使得 (S)取得最大值得集合S。它已经被证明是一个NP-hard的问题。
(S)具有下面三个性质：（1）(∀S⊆V, (S)≥0);（2）单调递增(∀S⊆T⊆V, (S)≤ (T));（3）(∀S⊆T⊆V, ∀v∈V, (S∪{v})− (S)≥ (T∪{v})− (T))。由 的这三个性质便可以得到一个很暴力的贪心做法。每一次找到使得 增长幅度最大的节点，加入结果集合中，循环k次，便得到我们想要的集合了。下面是伪代码：
但是这个算法并不是一个好的算法，因为时间复杂性太高。而时间复杂度高的原因是 (S)函数的计算并不存在多项式时间的算法。精确计算 (S)函数本身就是一件很困难的事情，但是我们有一些别的方法来近似的计算 (S)，比如我们可以运行一次信息级联模型，首先将S集合设置为种子节点，然后根据边上的影响因子来确定种子节点旁边的节点是否受到影响，这样算法运行结束之后便可以得到最终有多少节点受到影响，如果对数据的精确度要求比较高的话，我们可以多次运行这个信息级联模型，然后对最后的结果取平均值，这样的话，我们就能够算出一个比较好的结果，我在真正运行程序查看结果的时候，发现每一次运行信息级联模型的结果差距比较小，所以这个方法我个人觉得还是可行的。
Influence maximization问题虽然已经被广泛的研究过了，但是对于一个社交网络图，我们往往只能得到一个有向图，至于每一条边上面的影响因子，我们很难准确的知道，但是我们可以容易的得到一个影响因子的置信区间，使得影响因子落在这个区间中的可能性大于某一个下界。由于影响因子的不确定性，解决Influence maximization问题的算法寻找到的k个种子节点已经不够好了。
如何解决这个新的问题呢？在论文《robust influence maximization》之中比较好的解决了这个问题。第一步还是形式化的定义这个问题robust influence maximization（RIM）：给一个有向图G = (V,E) ，V代表节点，E代表有向边，每一条边有一个权值区间 ，代表源点对终点的影响因子的置信区间。定义参数空间Θ= （Θ实际就是每一条边上权值区间的笛卡尔乘积），我们希望能找到一个大小为k的集合，使得目标函数g(Θ,S)取得最大值。也就是找公式中的集合 （定义如下）
，
作者在提出这个问题之后，证明这个问题是NP-hard的，并且提供了一个LUGreedy算法给出 一个近似的解法。下面是伪代码：
这个算法的思想就是取每一条边上影响因子为区间上界re运行一次算法1，得到一个集合1，取每一条边上影响因子为区间上界le跑一遍算法，又得到一个集合2，最后看这两个集合在影响因子为le构成的参数向量上得到的影响值，取表现好的那个结果。接着作者证明这个算法的结果存在一个依赖于解的下界：
但是作者接下来又证明了，当图的规模很大的时候，算法运行结果的下界并不让人满意，不仅如此次，RIM问题在这种情况下，根本不存在令人满意的解，直观上也很容易想出来，当每一条边上的影响因子的不确定度很大的时候，目标函数
的最大值很容易受到影响。所以这个算法还有很多改进的地方，有兴趣的同学可以试着做一下，改进这个算法，使得RIM问题能够更好地得到解决。
本人水平一般，能力有限，解释的难免有疏漏之处，望大家批评指正，大家如果有什么问题的话，可以下载作者的论文进行研究https://arxiv.org/pdf/1601.06551.pdf，还有作者在会议上展示论文的视频，大家可以观看一下，下面是视频的链接：https://www.youtube.com/watch?v=IPOvXd9vZPs 。如果大家有问题的话，欢迎私信讨论。本人qq：3294349775