题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1:
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2:
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
分析与代码
- 每次可以爬 1 或 2 个台阶，到达目的台阶要么是从前一个台阶爬 1 个台阶，要么从前两个台阶爬 2 个台阶；问题变为求前两个台阶的爬楼梯方法；很容易得出递推公式 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，和斐波那契数列一样。
- 那就和 509. 斐波那契数 一样，不同的是这题数列从第二项开始，使用原斐波那契数列的第 2 项和第 3 项作为初始项。
解法一、递归（超时）
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) {
return n;
}
return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}
}
解法二、记忆化递归
- 记忆化是一种优化技术，主要用于加快计算机程序的速度，方法是存储昂贵的函数调用的结果，并在相同的输入再次出现时返回缓存的结果。
- 我们在之前递归的基础上，在计算之前判断是否已计算过，在计算完之后，先不要直接返回结果，而应先以当前 N 为 key，结果为 value 保存到 HashMap 中。
代码：
class Solution {
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) {
return n;
}
if (map.containsKey(n)) {
return map.get(n);
}
int result = climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
map.put(n, result);
return result;
}
}
解法三、动态规划
- 记忆化数组是自顶向下的，动态规划就把这个数组自底向上的生成。
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) {
return n;
}
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 1;
dp[1] = 2;
for (int i = 2; i < n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n - 1];
}
}
解法四、优化动态规划
- 要计算的状态只和前两个状态有关，只记录这两个状态，能进一步优化空间。
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) {
return n;
}
int pre = 1, cur = 2;
for (int i = 2; i < n; i++) {
int next = pre + cur;
pre = cur;
cur = next;
}
return cur;
}
}
解法五、常规矩阵乘法
[egin{matrix}
left[
egin{matrix}
1 & 0\
0 & 0
end{matrix}
ight]
left[
egin{matrix}
1 & 1\
1 & 0
end{matrix}
ight] =
left[
egin{matrix}
1+0 & 1+0\
0+0 & 0+0
end{matrix}
ight] =
left[
egin{matrix}
1 & 1\
0 & 0
end{matrix}
ight]
end{matrix}
]
[egin{matrix}
left[
egin{matrix}
1 & 1\
0 & 0
end{matrix}
ight]
left[
egin{matrix}
1 & 1\
1 & 0
end{matrix}
ight] =
left[
egin{matrix}
1+1 & 1+0\
0+0 & 0+0
end{matrix}
ight] =
left[
egin{matrix}
2 & 1\
0 & 0
end{matrix}
ight]
end{matrix}
]
[egin{matrix}
left[
egin{matrix}
F_n & F_{n-1}\
0 & 0
end{matrix}
ight]
left[
egin{matrix}
1 & 1\
1 & 0
end{matrix}
ight] =
left[
egin{matrix}
F_n+F_{n-1} & F_n\
0 & 0
end{matrix}
ight] =
left[
egin{matrix}
F_{n+1} & F_n\
0 & 0
end{matrix}
ight]
end{matrix}
]
- 用矩阵的第一行记录两个数，再和(left[ egin{matrix} 1 & 1\ 1 & 0 end{matrix} ight])相乘得出下一个矩阵。
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) {
return n;
}
int[][] matrix = { { 2, 1 }, { 0, 0 } };
int[][] func = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
for (int i = 2; i < n; i++) {
matrix = multiply(matrix, func);
}
return matrix[0][0];
}
private int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
}
}
return c;
}
}
解法六、优化矩阵乘法
-
在上一个方法中，每次都是乘一个相同的矩阵；而同一数字多个相乘即幂运算，可以用二分法优化成快速幂，而矩阵也同样可以使用，先计算(M^{n/2})，然后在用矩阵相乘的公式即可。
-
矩阵的起始乘积不再是 1，而是单位矩阵(left[ egin{matrix} 1 & 0\ 0 & 1 end{matrix} ight])。
-
在这题我们就要把矩阵初始为(left[ egin{matrix} 1 & 1\ 1 & 0 end{matrix} ight])，矩阵结构改为(left[ egin{matrix} F_n & F_{n-1}\ F_{n-1} & F_{n-2} end{matrix} ight])。
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) {
return n;
}
int[][] matrix = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
int[][] result = pow(matrix, n);
return result[0][0];
}
private int[][] pow(int[][] matrix, int n) {
int[][] result = { { 1, 0 }, { 0, 1 } };
for (int i = n; i > 0; i /= 2) {
if ((i & 1) != 0) {
result = multiply(matrix, result);
}
matrix = multiply(matrix, matrix);
}
return result;
}
private int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
}
}
return c;
}
}
解法七、斐波那契公式
[F(n) = cfrac{((cfrac{1+sqrt[2]{5}}{2})^n-(cfrac{1-sqrt[2]{5}}{2})^n)}{sqrt[2]{5}}
]
因为是使用原斐波那契数列的第 2 项和第 3 项作为初始项，所以 n 需要 加 1。
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
double sqrt5 = Math.sqrt(5);
return (int) ((Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1)) / sqrt5);
}
}
小结
这题和 509. 斐波那契数 是同一问题，只是初始项不同，这题的初始项是 1 和 2，且 n 不可取 0。
除了初始处理和 n 的边界处理有点不一样，方法还是一样的。