[UVa-437] The Tower of Babylon

DAG建模基础；DP与DAG的关系

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题意

n种长方体，各有无限个。可以横竖侧摆放。只有一个长方形的底面，长小于且宽小于令一个底面才可以叠在上面。问最多叠多高？

数据范围：$n leq 30$

Solution

建模

将木块的6种状态（不是3种）作为不同物体考虑。若a能在b下面，那么连一条a->b的边，权值为b的高。至于第一块的高，考虑使用虚拟点。

求最长

已经将所有可能情况归结在图中了。显然这个图一定无环。所以利用DAG的性质，$O(n^2)$求最长路即可。

DAG求最长路的本质是DP。设$dp[i]$表示从$i$出发的最长路，由于一定不会有环，所以用所有$i$连出去的点进行转移即可。换句话说这些连出去的点和$i$毫无关系，是个独立的子问题。DAG里是可以有重复的子问题的（树就没有）

透过题解看本质

何时利用图建模

二元关系可以利用图来建模。在这道题中，一块木块能否放在另一块上面是一个二元关系。而在建模过程中，每一个木块的状态是唯一的，像这种木块翻转的应当看做两种情况。

隐式图

后来想想，其实这道题没有必要建图。因为我们可以对所有木块排序，排序完后就是一个类似LIS的问题了。

这么想来，$O(n^2)$的LIS做法其实也可以利用DAG来解决，即一个数在另一个数前面且小于后一个，那么连边。求最长路就是LIS。而我们并没有使用建图来解决LIS问题。

不过这给了我启示，其实DP就是DAG呀！所谓的无后效性，就是无环。

my code

注意有6种，而不是3种。底面的长宽也是需要交换的！！！

当然在代码实现的过程中为了方便依然可以只存三种情况，因为底面长宽交换不影响高，所以可以以两种状态存在，至于放上来的木块，只要横竖以一种状态能够放上就可以。因为一块木块一旦放完，对于剩余的木块它就是底，因此横竖都无所谓。

/*By DennyQi 2019*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 20010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
inline int Max(const int a, const int b){ return (a > b) ? a : b; }
inline int Min(const int a, const int b){ return (a < b) ? a : b; }
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
    for(; c ^ '-' && (c < '0' || c > '9'); c = getchar());
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0'; return x * w;
}
struct Cuboid{
    int x,y,z;
}a[30001];
int n,N,Case,ans;
int first[30001],nxt[30001],to[30001],cost[30001],cnt,dp[30001],pre[30001];
bool vis[30001];
inline bool Nest(int i, int j){
    if((a[i].x>a[j].x && a[i].y>a[j].y) || (a[i].x>a[j].y && a[i].y>a[j].x)) return 1;
    return 0;
}
inline void add(int u, int v, int w){
    cost[++cnt] = w, to[cnt] = v, nxt[cnt] = first[u], first[u] = cnt;
} 
int Dfs(int u){
    if(vis[u]) return dp[u];
    vis[u] = 1;
    for(int i = first[u]; i; i = nxt[i]){
        if(Dfs(to[i]) + cost[i] > dp[u]){
            dp[u] = dp[to[i]] + cost[i];
            pre[u] = to[i];
        }
    }
    return dp[u];
}
int main(){
    while((N = read()) > 0){
        n = N*3;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(first,0,sizeof(first));
        for(int i = 1; i <= N; ++i){
            a[i].x = read(), a[i].y = read(), a[i].z = read();
            a[i+N].x = a[i].x, a[i+N].y = a[i].z, a[i+N].z = a[i].y;
            a[i+N*2].x = a[i].y, a[i+N*2].y = a[i].z, a[i+N*2].z = a[i].x;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            add(n+1,i,a[i].z);
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                if(i == j) continue;
                if(Nest(i,j)) add(i,j,a[j].z);
            }
        }
        ans = Dfs(n+1);
        ++Case;
        printf("Case %d: maximum height = %d
",Case,ans);
    }
    return 0;
}