这里总结一下几种最大流算法
1.EK算法
EK算法应该是最大流中最简单的了，但刚开始理解也花了不少工夫
EK算法基于增广路。它的思想是，每一次通过BFS不停寻找增广路，找到以后增广，直到找不到为止
残量
一条边的残量等于该边的容量减去该边当前的流量，为了方便，我们可以建立残量网络。这样每条边只需要对应一个权值即可。
反向边
给程序一个反悔的机会。因为一个点出发边的搜索顺序完全取决于读入的顺序，所以难免会运气不好走出一条路使下一次无法增广，而实际上如果不那么走是有增广路的。因此引入反向边的概念，当第一次运气不好走过一条边时，下一次可以反的走回来，这样一条边走去走来就抵消了，相当于没走，也就是反悔了
问题的统一
从u到v流去3，再从v到u流回5，实际上等价于v到u流回-2。因此，流量$f(u,v) = k$等价于$f(v,u) = -k$
具体的算法流程及内容相关：
1.建图
对于每一条边，建立它本身与反向边。
它本身的容量就设为c，流量初始化为0。 反向边的容量设为0，流量也为0
每条边在残量网络中对应正反两条边，当容量为c，当前流量为f时，正向边残量为$c-f$，反向边残量为$0-(-f)=f$，容易看出正反向边始终满足残量之和等于容量
假设当前一条边经过增广使流量增加了$Δf$，则正向边残量为$c-(f+Δf)$，反向边残量应当为$f+Δf = 0-(-f-Δf)$才能满足容量的守恒。由此可知，当流量增加$Δf$时，反向边的流量应当减去$Δf$
2.增广
利用BFS进行增广
基于已经构建好的残量网络（也就是容量-流量），BFS出任意一条路劲，使其能够增广。这里的增广就好像一个瓶颈，能增广多少取决于残量最小的那条边。
因此我们可以记录一个数组a，a[i]表示从i到源点经过的残量的最小值。如果$a[T]>0$，则意味着存在一条增广路
我们不停进行BFS，直到$a[T]==0$。注意a[S]应当为INF，用来打擂最小值
3.累积
注意我们不能再BFS增广的过程中对边的流量进行修改，因为BFS几乎会经过所有的边，而只有一条路径作为增广路。所以我们需要像最短路输出方案那样记录更新的pre数组，最后由汇点T往前一一处理经过的边（正向加反向减）即可。这里还有一个小技巧：我们可以让num_edge从0开始累积，由于正反向的两条边是连续add的，所以边的编号刚好是x与x^1. 这样访问起来也非常方便
注意，这不是单纯地输出路径，而是需要对路径上的边权做出修改。无疑不能仅仅存点的编号为pre，而是边的编号，并且还需要在边的属性中加入from这一项
EK算法复杂度最坏为$O(nm^2)$
inline void MaxFlow_EK(){ int ans = 0; for(;;){ memset(a, 0, sizeof(a)); while(!q.empty()) q.pop(); //各数组预先清空 q.push(S); //源点入队 a[S] = INF; //a值先设为INF，以便打擂最小值 int u,v; while(!q.empty()){ u = q.front();q.pop(); for(int i = first[u]; i != -1; i = nxt[i]){ v = to[i]; //a数组在此处充当vis数组，没有访问过的点a必定为0 if(!a[v] && cap[i]>flow[i]){//cap[i]>flow[i]也就是残量大于0 pre[v] = i; //pre[v]记录为u->v的边的编号 a[v] = Min(a[u], cap[i]-flow[i]); //打擂最小值，也就是找到瓶颈 q.push(v);//v入队 } } if(a[T] > 0) break; //意味着已经找到增广路，可以停止BFS } if(!a[T]) break;//无法找到增广路了，跳出大的循环 for(int i = T; i != S; i = from[pre[i]]){ flow[pre[i]] += a[T]; //正向边，终点为i。正向边的流量增大a[T] flow[pre[i]^1] -= a[T]; //相反，反向边的流量应当减小a[T] } ans += a[T];//每一次增广累积答案 } printf("%d", ans); }
2. Dinic算法
在讨论Dinic算法之前，先来看最短增广路算法。Dinic基于该算法，事实上Dinic是连续最短增广路算法
最短增广路算法的步骤如下：
1. 构建层次图
先对原图从源点开始BFS，处理出每个点到S的距离（这里每条边的权值当做1，也就可以理解为每个点到S最少经过几条边）。这个距离记为这个点的层次。
2. BFS求解最大流
将同层次的点归于一组，并规定每一次只能走层次较大的（最多只能大1，想一想，为什么）。每一次BFS的过程中找到增广路，并进行增广
3. 重新构建层次图
当找不到增广路后，去除所有饱和的边，重新构建层次图，重新BFS找增广路
为什么这样会优呢？因为每一次构建层次图，都是让源点到汇点的增广路同时为最短路。每一次重构层次图意味着增广路的最短路至少增加了1. 因此重构不会超过$n-1$次
再回过头来看Dinic，Dinic算法的优化就在于不要用BFS每次求解一条增广路，这样非常慢。Dinic算法的思想是多路增广，即利用DFS一次性求解多条增广路
下面来介绍Dinic算法的步骤
1. 构建层次图
与最短增广路算法一样
2. DFS多路增广
每一次在DFS的时候就可以顺带减去当前边的流量，因为是深度优先，所以在回溯的时候已经知道了流量的消耗。具体原理还是和EK一样的
3. 重新构图进行多路增广
也和最短增广路算法一样
以上是朴素的Dinic算法，我们可以尝试对他进行优化
优化（一）：当前弧优化
所谓当前弧优化就是指在同一次DFS中，记录每个点已经访问过的边，下次从没有访问的边开始访问
这有点像记忆化搜索，由于是深度优先搜索，所以如果一条边已经搜索过了，那么从它出发的经过它的所有增广路肯定都已经增广了（不然不会回溯到现在），所以这条边再DFS下去毫无价值，因此可以忽略。所以反应到程序里就是每一个点搜过的边都不要再搜，也就是当前弧优化
有一个地方是不是矛盾了？既然是深度优先搜索，那么一个点搜过了所有边肯定也会被遍历过，为什么还需要当前弧优化呢？因为我们有一个重要的跳出语句（也就是下一条优化）：我们是有剩余流量的，参数a表示这个点出发总共还有多少从前面运输过来的流量，如果增广前三条边导致剩余流量用光，那么只能被迫跳出。因此当前弧优化就在这里起到了作用
优化（二）：剩余流量为0时及时跳出
既然没有剩余流量了，跳出即可（如上）
Dinic算法复杂度最坏$O(n^2m)$
inline bool BFS(){ memset(vis, 0, sizeof(vis)); memset(level, 0, sizeof(level)); while(!q.empty()) q.pop(); q.push(S); level[S] = 1;//层次 vis[S] = 1; int u,v; while(!q.empty()){ u = q.front(); q.pop(); for(int i = first[u]; i!=-1; i = nxt[i]){ v = to[i]; if(!vis[v] && cap[i]>flow[i]){//仅访问残量>0的弧，这样才能够用是否到达判断是否存在增广路 vis[v] = 1; level[v] = level[u]+1; q.push(v); } } } return vis[T];//能访问T意味着存在至少一条增广路 } int DFS(int u, int a){ //a表示当前点总共可以发出多少流量 if(u == T || a == 0) return a;//如果已经到达汇点，或是无法发出任何流量，return int ans = 0, v, _f; for(int& i = cur[u]; i!=-1; i = nxt[i]){ //注意这里的i有一个&符号，这样cur[u]就会随i的变化而变化，自动更新访问到了哪里 v = to[i]; if(level[u]+1 == level[v] && cap[i]-flow[i] > 0){//访问下一个层级的，并且残量>0 _f = DFS(v, Min(a, cap[i]-flow[i]));//此时进行DFS，_f就表示从这个点一直到汇点所能够增广的大小 这里之所以要取Min是因为有可能a不足以流满 a -= _f;//由于得到的这_f需要增广，于是剩余流量减去_f flow[i] += _f; flow[i^1] -= _f;//正向边反向边处理 ans += _f;//答案累积增广的总量 if(a == 0) break;//判断如果没有剩余流量则跳出，这也是当前弧优化存在的意义 } } return ans; } inline void Dinic(){ int ans = 0; while(BFS()){//重新建分层图以后能够到达汇点，意味着存在增广路 for(int i = 1; i <= N; ++i) cur[i] = first[i]; ans += DFS(S, INF);//源点可以发出无限的流量 } printf("%d", ans); }