特征值之积等于矩阵行列式、特征值之和等于矩阵的迹

　　对于$n$阶方阵$A$，使用$|A-lambda E|=0$求矩阵的特征值。因为在复数域内一定有$n$个特征值$lambda_1,lambda_2...lambda_n$，因此作为$lambda$的$n$次多项式，$|A-lambda E|$又可表示为：

$(lambda_1-lambda)(lambda_2-lambda)...(lambda_n-lambda)$

$displaystyle=lambda_1...lambda_n+(-1)^1(lambda_1+...+lambda_n)lambda+...+(-1)^{n-1}(lambda_1+...+lambda_n)lambda^{n-1}+(-1)^nlambda^n$

　　$lambda=0$时，有$|A| = lambda_1...lambda_nl$。所以特征值之积等于矩阵行列式。

　　另外，特征值之和等于矩阵的迹的证明：

　　由上面的表示可看出$(-1)^{n-1}lambda^{n-1}$项的系数为$(lambda_1+...+lambda_n)$，而对于行列式$|A-lambda E|$，从行列式定义的角度看，要获得$lambda$的$n-1$次项，只有全部对角线元素的乘积才行。因为逆序一次，$lambda$的最大次数就已经等于$n-2$了，而更多逆序只会让次数更小。再看对角线元素的乘积：

$(A_{11}-lambda)...(A_{nn}-lambda)$

　　可得$n-1$次项为$(-1)^{n-1}(A_{11}+...+A_{nn})lambda^{n-1}$。所以特征值之和等于矩阵的迹。