01背包问题

背包九讲奉上

http://love-oriented.com/pack/P01.html

以HDU 2602为例：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

一个常数优化

前面的伪代码中有 for v=V..1，可以将这个循环的下限进行改进。

由于只需要最后f[v]的值，倒推前一个物品，其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推，对以第j个背包，其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代码中的

for i=1..N
    for v=V..0

可以改成

for i=1..n
    bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}
    for v=V..bound

这对于V比较大时是有用的。

二维：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stack>
using namespace std;

#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pf printf
#define sf scanf
#define debug printf("!/m")
#define INF 1000
#define MAX(a,b) a>b?a:b
#define blank pf("
")
#define LL long long

int dp[INF][INF];

int ci[INF];
int wi[INF];


int main()
{
          int n,V,i,j,v,t;

          sf("%d",&t);
          while(t--)
          {
                    sf("%d%d",&n,&V);

                    MEM(dp,0);
                    MEM(ci,0);
                    MEM(wi,0);

                    for(i = 1;i<=n;i++)
                    {
                              sf("%d",&wi[i]);
                    }

                    for(i = 1;i<=n;i++)
                    {
                              sf("%d",&ci[i]);
                    }

                    for(i = 1;i<=n;i++)
                    {
                              for(v = 0;v<=V;v++)//如果不允许有体积为0的东西可以设为1
                              {
                                        if(ci[i]<=v)
                                                  dp[i][v] = MAX(dp[i-1][v],dp[i-1][v-ci[i]]+wi[i]);
                                        else
                                                  dp[i][v] = dp[i-1][v];
                              }


                    }

                    pf("%d
",dp[n][V]);


          }
    return 0;
}

一维：

空间复杂度优化，时间复杂度基本不变

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stack>
using namespace std;

#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pf printf
#define sf scanf
#define debug printf("!/m")
#define INF 1000
#define MAX(a,b) a>b?a:b
#define blank pf("
")
#define LL long long

int dp[INF];

int ci[INF];
int wi[INF];


int main()
{
          int n,V,i,j,v,t;

          sf("%d",&t);
          while(t--)
          {
                    sf("%d%d",&n,&V);

                    MEM(dp,0);
                    MEM(ci,0);
                    MEM(wi,0);

                    for(i = 1;i<=n;i++)
                    {
                              sf("%d",&wi[i]);
                    }

                    for(i = 1;i<=n;i++)
                    {
                              sf("%d",&ci[i]);
                    }

                    for(i = 1;i<=n;i++)
                    {
                              for(v = V;v>=ci[i];v--)//体积可以为0
                              {
                                        dp[v] = MAX(dp[v],dp[v-ci[i]]+wi[i]);
                              }
                    }

                    pf("%d
",dp[V]);
          }
    return 0;
}