gcd详解

简述

　　给你两个数a和b，要求求出a和b的最大公约数。为了解决这个问题，我们可以想到很多方法，穷举法，辗转相除法，更相减损法等。这里我们详解介绍穷举法和辗转相除法。

问题描述

　　我们把问题用数学语言进行描述：已知整数a和b，求一数k满足a%k==0&&b%k==0，且k要尽可能大。

穷举法

　　因为k小于等于a和b，所以我们可以从a和b选一个数开始进行穷举，这里我们选择较小的那个数，因为k一定小于等于较小那个数。

int gcd(int a,int b){
    int num=min(a,b);
    for(int i=num;i>=1;i--){
        if(a%i==0&&b%i==0) 
            return i;
    }
}

　　这个算法的时间复杂度为O(min(a,b)),因为最多会执行min(a,b)次，当a和b特别大的时候，这个程序是很慢的。

辗转相除法

　　辗转相除法又称欧几里得算法，这是我们小学就学过的算法，古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里德算法，又在九章算术里描述为辗转相除法。

　　我们现在将求a和b两个数的最大公约数定义为函数gcd(a,b)。

　　辗转相除法的算法思想是，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，当b为0时gcd(a,b)为a。不断重复gcd(a,b)=gcd(b,a%b)则b终会等于0，最后求出等式的结果。

　　例如我们现在要求gcd(9,12),则可以写出以下的过程：

　　gcd(9,12)=gcd(12,9%12)=gcd(12,9)=gcd(9,12%9)=gcd(9,3)=gcd(3,9%3)=gcd(3,0)=3

int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

　　辗转相除法的时间复杂度为O(logn)，证明省略。

辗转相除法的证明

　　为什么gcd(a,b)=gcd(b,a%b)呢？

　　我们设gcd(a,b)=k，r=a%b。

　　可得a=sk，b=tk，s和t互质，a=bq+r，q为正整数。

　　左带入右得sk=tkq+r，整理得r=k(s,tq)，所以k也是r的因子。

　　我们可以将求gcd(a,b)的过程理解为求a和b两个因数集合里最大的相同数，将gcd(a,b)=gcd(b,a%b)过程可以理解为使用一个r代替b，使得b变小但r的因数集里包含最大公约数k，一直减小到0时，当时的a就是我们求的k了。

　　我们开看一张gif图，两条线段的长度分别代表a和b，里面的一小段代表最大公约数，现在演示如何用辗转相除法求最大公约数。