DS实验题 融合软泥怪-2 Heap实现

题目和STL实现：DS实验题 融合软泥怪-1

用堆实现优先队列

引言和堆的介绍摘自：Priority Queue(Heaps)--优先队列(堆)

引言：

优先队列是一个至少能够提供插入（Insert）和删除最小（DeleteMin）这两种操作的数据结构。对应于队列的操作，Insert相当于Enqueue，DeleteMin相当于Dequeue。

链表，二叉查找树，都可以提供插入（Insert）和删除最小（DeleteMin）这两种操作，但是为什么不用它们而引入了新的数据结构的。原因在于应用前两者需要较高的时间复杂度。对于链表的实现，插入需要O(1)，删除最小需要遍历链表，故需要O(N)。对于二叉查找树，这两种操作都需要O(logN)；而且随着不停的DeleteMin的操作，二叉查找树会变得非常不平衡；同时使用二叉查找树有些浪费，因此很多操作根本不需要。

因此这里引入一种新的数据结构，它能够使插入（Insert）和删除最小（DeleteMin）这两种操作的最坏时间复杂度为 O(N) ，而插入的平均时间复杂度为常数时间，即O(1)。同时不需要引入指针。

二叉堆

Heap有两个性质：结构性质（structure property），堆的顺序性（heap order property）。看英文应该比较好理解。

structure property

Heap（堆）是一个除了底层节点外的完全填满的二叉树，底层可以不完全，左到右填充节点。（a heap is a binary tree that completely filled, with the exception of bottom level, which is filled from left to right.）这样的树叫做完全二叉树。

一个高度为h 的完全二叉树应该有以下的性质：

a) 有2^h到2^h-1个节点

b) 完全二叉树的高度为logN

鉴于完全二叉树是一个很整齐的结构，因此可以不用指针而只用数组来表示一颗完全二叉树。 对于处于位置i 的元素，

a)他的左子节点在2i，右子节点在（2i+1）

b) 它的父节点在【i/2】(向下取整)

下图显示了完全二叉树与数组的对应关系：

实现

有了上面的基础之后，其实建堆和维护堆并不是一件难事，这里大概描述下我的思路。

1.我们使用数组模拟堆，i是当前节点，i/2是它的父亲节点，i2和i2+1或者i*2-1(如果存在的话)是它的左右儿子。

2.刚刚开始建堆的时候，从size到1遍历一遍，每一个节点向上进行维护，进行初始化。

3.维护的方法：比较当前节点和父亲节点 => 如果父亲节点的值大于当前节点的值，则进行交换，同时当前节点来到此时的父亲节点处，父亲节点找它的父亲节点 || 如果父亲节点的值小于当前节点的值，结束。

4.加入一个元素的方法：在堆尾，也就是Heap[size+1]，插入新的节点 => size++ => 步骤3。

5.删除最小节点的方法：将最后一个节点和最小的节点交换 => 删除最后一个节点 => 执行步骤2。

代码

//
//  main.cpp
//  Heap
//
//  Created by wasdns on 16/12/25.
//  Copyright © 2016年 wasdns. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int size = 0;

int Heap[100005];

/*
     维护函数keep
 */
void keep(int son)
{
    int fa = son/2;
    
    while (fa >= 1 && Heap[fa] > Heap[son])
    {
        int t = Heap[fa];
        Heap[fa] = Heap[son];
        Heap[son] = t;
        
        son = fa;
        fa = fa/2;
    }
}

/*
    初始化函数IniHeap
 */
void IniHeap()
{
    int i;
    
    for (i = size; i >= 1; i--)
    {
        keep(i);
    }
}

/*
    InsProtect函数：插入新节点并维护
 */
void InsProtect(int a)
{
    Heap[++size] = a;
    
    keep(size);
}

/*
    DelMin函数：删除最小元并维护
 */
int DelMin()
{
    int minum = Heap[1];
    
    int t = Heap[size];
    
    Heap[1] = t;
    
    size--;
    
    IniHeap();
    
    return minum;
}

int main()
{
    cin >> size;
    
    for (int i = 1; i <= size; i++)
    {
        cin >> Heap[i];
    }
    
    IniHeap();
    
    int cnt = 0;
    
    while (size != 1)
    {
        int a = DelMin();
        int b = DelMin();
        
        cnt += a+b;
        
        InsProtect(a+b);
    }
    
    cout << cnt << endl;
    
    return 0;
}

/*
 14
 4 3 2 6 7 1 3 5 4 3 8 2 1 7
 */

2016/12/25