序列动规

序列动态规划

一. 关于最长上升/下降/不上升/不下降子序列

题目大意 ：给定一个序列，求当前序列中最长上升/下降/不上升/不下降子序列（序列可以不连续）

注 ：以下算法皆由最长上升子序列展示      

　　1. Ο(n²)

　　   思路 ：f[i]表示以q[i]结尾的最长上升子序列的长度，初始值为1。每次循环1 ~ n，再循环1 ~ i - 1，如果q[i] > q[j]（要上升啊），就f[i] = max(f[i], f[j] + 1)（这个 + 1是因为还要加上q[i]啊）

　　   code ：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, q[100001], f[100001], maxl;
inline void memset(int a[], int b, int l)//手写memset 
{
    for(register int i = 1; i <= l; ++i)
    {
        a[i] = b;
    }
    return;
}
signed main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &q[i]);
    }
    memset(f, 1, n);//初始化 
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(register int j = 1; j < i; ++j)
        {
            if(q[i] > q[j])//要大于 
            {
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);//取max 
            }
        }
        maxl = max(maxl, f[i]);//取答案最大值 
    }
    printf("%d", maxl);//最后输出的是maxl，不是f[n] 
    return 0;
}

　　2. O(n log n)

　　　思路 ：现在不需要整f[i]了，但整一个x数组和z，z表示最长上升子序列的长度，x里存的是最长上升子序列。注意 ：此时要先把x[++z] = q[1]，然后循环2 ~ n，如果当前数 > x[z]那么直接插进去就好了，否则二分查找第一个大于等于它的数，然后把那个数给替换掉，其他的不变，最后输出z。

　　　证明 ：查找出来的数是第一个大于等于它的数，那么当前数肯定比它右边的数要小（因为u（当前数） <= x（第一个比u大的数）&& x < y（x左边的数）所以 u < y）

　　　　        查找出来的数是第一个大于等于它的数，那么既然是第一个，那一定左面的数就 <= 当前数了呗

　　    code（直接用STL了） ：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, q[100001], x[100001], z;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &q[i]);
    }
    x[++z] = q[1];
    for(register int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(q[i] > x[z])
        {
            x[++z] = q[i];
        }
        else
        {
            int p = lower_bound(x + 1, x + z + 1, q[i]) - x;
            x[p] = q[i];
        }
    }
    printf("%d", z);
    return 0;
}

二.  关于最长公共子序列

题目大意：给定两个字符串x，y，求两个字符串中最长公共（及两个字符相等）子序列

        思路：设f[i][j]表示x序列到第i个字符，y序列到第j个字符的最长公共子序列。这时分两种情况，一是x[i]和y[j]这两个字符相等（及可以同时选），那么答案就 等于f[i - 1][j - 1] + 1了（及从1 ~ i - 1和1 ~ j - 1中选最长公共子序列再加上1，因为还要加上x[i]，y[j]这两个相等个字符啊）；二是x[i] != y[j]（及不能同时选，想同时选也不能同时选啊，都不同怎么同时选），那么这是会比较麻烦，因为我们只能选其一，所以我们就在两种不同的方案里取最大值——f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i - 1][j])。然后……就没有然后了，就完了，直接枚举x序列和y序列的长度，进行判断，看执行哪个，最后输出f[x序列的长度][y序列的长度]就OK了

        code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, f[1001][1001];
char x[1001], y[1001];
signed main()
{
    scanf("%s %s", x, y);
    int lx = strlen(x);
    int ly = strlen(y);
    for(register int i = 1; i <= lx; ++i)
    {
        for(register int j = 1; j <= ly; ++j)
        {
            if(x[i - 1] == y[j - 1])//从一开始枚举的，要减一才是正确的字符啊 
            {
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;//别忘了加一 
            }
            else
            {
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);//两种情况取max，从而得到最优值 
            }
        }
    }
    printf("%d", f[lx][ly]);//最后答案在f[lx][ly]里 
    return 0;
}