证明 O(n/1+n/2+…+n/n)=O(nlogn)

前言

在算法中，经常需要用到一种与调和级数有关的方法求解，在分析该方法的复杂度时，我们会经常得到(O(frac{n}{1}+frac{n}{2}+ldots+frac{n}{n}))的复杂度，然后我们都知道这个式子是等价于(O(nlog n))的。在筛素数、字符串连续重复子串等很多算法中都有用到，用处之广，性能之优。今天不妨来证明下这个等价式。

(O(frac{n}{1}+frac{n}{2}+ldots+frac{n}{n}))~(O(nlog n))

分析

要证明(O(frac{n}{1}+frac{n}{2}+ldots+frac{n}{n}))~(O(nlog n))，只需证(O(1+frac{1}{2}+ldots+frac{1}{n}))~(O(ln n))——式子1.

为了证明式子1，需要证明4个定理：

1. 确界存在定理

2. 单调有界数列必定收敛

3. 数列({(1+frac{1}{n})^n})单调增加，({(1+frac{1}{n})^{n+1}})单调减少，两者收敛于同一极限

4. (b_n=1+frac{1}{2}+ldots+frac{1}{n}-ln n) 收敛

确界存在定理——实数系连续性定理

描述：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

证明：<a href="http://baike.baidu.com/link?url=NojNWL0qcJWW20mxekU1GcfeD1Tp-0-JtF4oyRio7w9Th-ifVdybvf3PaSzmZKXZywk9mCGnlQ9mkPk-NySvn1b_DUqfs-Boez0kGdtwwgN9cgLyW4xYJfHUVGhdiIHQh3hilNBwuRJxARBOsGkqrSpDfuuEwxa56NjmcEgwrlSiddNVOjmmH6WirfboiLNMPo0a06RFoeFRasTvJSUaPa

" target="_blank">百度百科关于确界存在定理

单调有界数列必定收敛

描述：单调递增且有上界数列必定收敛，单调递减且有下界数列必定收敛

证明：

不妨设数列({x_n})单调增加且有上界，根据确界存在定理，由({x_n})构成的数集必有上确界(eta)，满足：

(1) (forall nin N^+:x_nleq eta;)

(2) (forall epsilon>0,exists x_{n_0}:x_{n_0}>eta-epsilon。)

取(N=n_0)，(forall n>N:eta-epsilon<x_{n_0}leq x_nleq eta)，因而({x_n-eta}<epsilon)，于是得到(lim_{n ightarrow infty}x_n=eta)

当数列单调递减且有下界时，同理。

数列({(1+frac{1}{n})^n})单调增加，({(1+frac{1}{n})^{n+1}})单调减少，两者收敛于同一极限

证明：

记(x_n={(1+frac{1}{n})^n})，(y_n={(1+frac{1}{n})^{n+1}})，利用平均不等式(sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}leqfrac{a_1+a_2+ldots+a_n}{n})得到

(x_n={(1+frac{1}{n})^n}cdot1leq [frac{n(1+frac{1}{n})+1}{n+1}]^{n+1}=x_{n+1})

(frac{1}{y_n}=(frac{n}{n+1})^{n+1}cdot 1leq[frac{(n+1)frac{n}{n+1}+1}{n+2}]^{n+2}=frac{1}{y_{n+1}})

这表示({x_n})单调增加，而({y_n})单调减少。又由于(2=x_1leq x_n<y_nleq y_1=4)，可知数列({x_n})，({y_n})都收敛（单调有界数列必收敛）。

因为(y_n=x_n(1+frac{1}{n}))，所以它们具有相同的极限。习惯上用字母(e)来表示这一极限，即(lim_{n ightarrowinfty}(1+frac{1}{n})^n=lim_{n ightarrowinfty}(1+frac{1}{n+1})^n=e)

(e=2.718 281 828 459cdots)是一个无理数。以(e)为底的对数称为自然对数，通常即为(ln x(=log_ex))。

(b_n=1+frac{1}{2}+ldots+frac{1}{n}-ln n) 收敛

证明：

由上一定理可知，((1+frac{1}{n})^n<e<(1+frac{1}{n})^{n+1})，由此得到(frac{1}{n+1}<ln frac{n+1}{n}<frac{1}{n})。于是有：

(b_{n+1}-b_n=frac{1}{n+1}-ln (n+1)+ln n=frac{1}{n+1}-ln frac{n+1}{n}<0)

(b_n=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+ldots+frac{1}{n}-ln n>ln frac{2}{1}+ln frac{3}{2}+ln frac{4}{3}+ldots+ln frac{n+1}{n}-ln n=ln (n+1)-ln n>0)

这说明数列({b_n})单调减少有下界，从而收敛。（单调有界数列必收敛）

总结

已证明(O(1+frac{1}{2}+ldots+frac{1}{n}))~(O(ln n))，因此可知(O(frac{n}{1}+frac{n}{2}+ldots+frac{n}{n}))~(O(nlog n))

以后可能会附上用此公式的算法题目(ldots)（待续）