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  • 喵哈哈村的魔法考试 Round #21 (Div.2) 题解

    $ sum{i=0}{n-1}sum{j=i}{n-1}mid Ai - Aj mid $

    小学生在上课

    题目大意:给你一个正整数N,问你1 ~ (n-1) 所有在模N下的逆的和(只计算存在的)。
    分析:
    1、首先,一个数a在模N下存在逆当且仅当 gcd(a, N) = 1
    2、易证,不同的数在模N下的逆不同
    3、一个数在模N下的逆是它本身
    4、因此,令A={与N互质的数} B = {A里每一个数在模N下的逆},易证 A = B
    5、所以只需求1-(n-1)中与N互质的数的和
    6、因为gcd(a, N)= 1 gcd(N-a, N)
    7、因此
    时间复杂度为O(sqrt(N))
    另:不懂ϕ(N)的自己去查 欧拉函数

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main()
    {
        int T,n,i;
        scanf("%d",&T);
        while(T--)
        {
            scanf("%d",&n);
            long long ans = n;
            for(i = 2;i <= sqrt(n);i ++)
            {
                if(n % i == 0)
                {
                    ans *= i - 1;
                    n /= i;
                    while(n % i == 0)
                    {
                        ans *= i;
                        n /= i;
                    }
                }
            }
            if (n>1)
                ans *= n - 1;
            ans /= 2;
            printf("%lld
    ",ans);
        }
        return 0;
    }
    

    小学生森林

    每次O(log)的去交换行和列就可以了,然后最后再看看那个位置是什么。

    如果没看懂的话,那就仔细看看代码吧~

    #include<cstdio>
    #include<cstdlib>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    #include<list>
    #include<map>
    #include<set>
    #include<vector>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #define FOR(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);i++)
    #define ROF(i,a,b) for(i=(a);i>=(b);i--)
    typedef long long LL;
    typedef unsigned long long ULL;
    using namespace std;
    map<LL,LL> a;
    map<int,int> hang;
    map<int,int> lie;
    int n,m,K;
    LL gp(LL x,LL y)
    {
      return (LL)x*(3*1e9)+(LL)y;
    }
    int main()
    {
      scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
      int x,y,c,i,tt,qq,a0,b0;
      FOR(i,1,K)
      {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
        LL t=gp(x,y);
        if (!a.count(t)) a[t]=c;
        else a[t]+=c;
      }
      scanf("%d",&tt);
      while (tt--)
      {
        scanf("%d%d%d",&qq,&a0,&b0);
        if (qq==1)
        {
          if (!hang.count(a0)) hang[a0]=a0;
          if (!hang.count(b0)) hang[b0]=b0;
          int t=hang[a0];hang[a0]=hang[b0];hang[b0]=t;
        }else if (qq==2)
        {
          if (!lie.count(a0)) lie[a0]=a0;
          if (!lie.count(b0)) lie[b0]=b0;
          int t=lie[a0];lie[a0]=lie[b0];lie[b0]=t;
        }else
        {
          if (hang.count(a0)) x=hang[a0];else x=a0;
          if (lie.count(b0)) y=lie[b0];else y=b0;
          LL t=gp(x,y);
          if (!a.count(t)) printf("%lld
    ",0);
          else printf("%lld
    ",a[t]);
        }
      }
      return 0;
    }
    

    小学生放假了

    这题N^2M的dp应该是显然的……算了还是说下吧,先将Ci从大到小排序。f[i][j]表示前i个小学生还剩下j个商品可以设定价格,可以得到的最多的收入,f[i][j] = max(f[k][j – 1] + Ck * (i – k) | 0 <= k < i),这个dp应该很好理解。

    现在的思路很简单,就是把转移优化到O(1),这怎么做呢?

    经过观察可以发现,每个f[i][j]的决策g[i][j]在两维上都是单调不减的,即 g[i][j] <= g[i][j + 1],g[i][j] <= g[i + 1][j]。然后就有利用二维决策单调性的O(NM)算法了:对于每个f[i][j]计算决策的时候,只枚举[g[i – 1][j], g[i][j + 1]]之间的决策,可以证明这个复杂度是O(NM)的

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N=10005,M=2005;
    int n,m,g[N][M];
    long long f[N][M],c[N];
    int main()
    {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("ch.in","r",stdin);
        freopen("ch.out","w",stdout);
    #endif
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&c[i]),g[i+1][m+1]=i;
        sort(c,c+n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=m;j;j--)
                for(int k=g[i-1][j];k<=g[i][j+1]&&k<i;k++)
                    if(f[i][j]<f[k][j-1]+c[k]*(i-k)){
                        f[i][j]=f[k][j-1]+c[k]*(i-k);
                        g[i][j]=k;
                    }
        printf("%lld
    ",f[n][m]);
        return 0;
    }
    

    小学生的游戏

    这个题目一看就是矩阵快速幂吧……
    

    算法1:容易发现步长是以M为循环节的。构造M个转移矩阵,先把M个转移矩阵乘起来得到A,再计算A^(N / M),最后再乘上前N % M个转移矩阵,得到答案。这种算法是O(M^4)的,对于M=200的数据还是过不了的……
    算法2:上面这种算法把M个转移矩阵乘起来这一步太浪费时间,所以我们考虑直接构造转移M个格子的矩阵A,构造这个矩阵是O(M^3)的,然后再用上面的算法就可以了(前M个格子的数可能要特殊处理)
    AC算法:虽然算法2已经达到了O(M^3logN)的复杂度,但由于常数较大还是过不了本题……怎么办呢???只能优化矩阵乘法了。我们发现如果一个矩阵的某些项为0,根本没有必要乘这么多次,于是如果碰到一个值为0的项就直接跳过第三重循环(具体看AC程序)。事实证明,这样优化了大约2~5倍的时间,常数小的程序已经能在1秒内跑出结果了!
    4ms 算法:AC这题的都用的是4ms 算法……由于我实在是太弱了,真心不会这种算法啊……

    #include <algorithm>
    #include <iostream>
    #include <iomanip>
    #include <complex>
    #include <cstring>
    #include <cstdlib>
    #include <string>
    #include <vector>
    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    #include <map>
    #include <set>
    using namespace std;
    //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
    
    long long mod = 1000000009LL;
    const int N = 20;
    int M;
    int mapTo[201];
    
    struct matrix
    {
        long long x[N+1][N+1];
        matrix(){memset(x, 0, sizeof(x));}
        matrix(long long init)
        {
            memset(x, 0, sizeof(x));
            for(int i = 0; i <= N; i++)
                x[i][i] = init;
        }
        matrix operator +(matrix that)
        {
            matrix ret;
            for(int i = 0; i <= N; i++)
                for(int j = 0; j <= N; j++)
                    ret.x[i][j] = (x[i][j] + that.x[i][j]) % mod;
            return ret;
        }
        matrix operator -(matrix that)
        {
            matrix ret;
            for(int i = 0; i <= N; i++)
                for(int j = 0; j <= N; j++)
                    ret.x[i][j] = (x[i][j] - that.x[i][j] + mod) % mod;
            return ret;
        }
        matrix operator *(matrix that)
        {
            matrix ret;
            for(int i = 0; i <= N; i++)
                for(int j = 0; j <= N; j++)
                    for(int k = 0; k <= N; k++)
                        ret.x[i][j] = (ret.x[i][j] + x[i][k] * that.x[k][j]) % mod;
            return ret;
        }	
    }I(1);
    
    matrix power(matrix b, long long e)
    {
        matrix ret = I;
        while(e)
        {
            if(e&1) ret = ret * b;
            b = b * b;
            e /= 2;
        }
        return ret;
    }
    
    /*  Note
        1. Set N: matrix size
        2. Set mod
    */
    
    /*  Eaxmple
        matrix init, trans;
        init.x[1][1] = 2, init.x[2][1] = 1;
        trans.x[1][1] = 2, trans.x[1][2] = 1, trans.x[2][2] = 2;
        cout << (power(trans, 5) * init).x[1][1] << endl;
    */
    
    long long gcd(long long a, long long b)
    {
        if(a == 0 || b == 0)return a + b;
        return gcd(b, a % b);
    }
    
    matrix op(int i)
    {
        int a = gcd(i, M);
        int b = gcd(i+1, M);
        matrix ret = I;
        ret.x[0][0] = 0;
        ret.x[0][mapTo[b]] = 1;
        for(int i = 1; i <= a; i++)
            if(a % i == 0)
                if(mapTo[i] != -1)
                    ret.x[mapTo[i]][mapTo[b]] += 1;
        return ret;
    }
    
    matrix trans[201];
    int have[201];
    
    int MAIN()
    {
        long long n, m;
        cin >> n >> m;
        memset(have, 0, sizeof(have));
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            have[gcd(i, m)] = 1;
        int z = 0;
        mapTo[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            if(have[i])
            {
                z ++;
                mapTo[i] = z;
            }
            else
                mapTo[i] = -1;
        n --;
        M = m;
        matrix init;
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            init.x[i][0] = 1;
        trans[0] = I;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            trans[i] = op(i) * trans[i-1];
        matrix t = power(trans[m], n/m);
        t = trans[n%m] * t;
        t = t * init;
        cout << t.x[0][0] << endl;
        
        return 0;
    }
    
    int main()
    {
        #ifdef LOCAL_TEST
            freopen("in.txt", "r", stdin);
            freopen("out.txt", "w", stdout);
        #endif
        ios :: sync_with_stdio(false);
        cout << fixed << setprecision(16);
        return MAIN();
    }
    

    5、小学生的旅行
    题意大意:给一个N个点,M条边的无向连通图,再给你K个权值,问这些权值中,可以从u走到v时经过的边值都不大于这个权值的有多少个。其中这些权值会修改。
    分析:
    1、首先,如果从u走到v的所有路径中,最大边最小的边权为l,那么,所有不小于l的权值都符合,所有小于l的权值都不符合。
    2、因此,可以把题目分为两步,首先求出从u走到v的所有路径中最大边最小的边权l,再求有多少个权值不小于l。
    3、取出原图中的所有点,将边从小到大排序,一次加入这个新图,当使u, v恰好连通时的边权就是要求的L。停止加边。
    4、证明:从u走到v,可以只经过不比L大的边,因为新图中u可以走到v,而且图中的所有边权不大于L。去掉边权为L的边,得到的图中u无法到v, 因此不存在L’, 从u走到v,可以只经过不比L’大的边,其中L’<L。
    因此L是原图中从u走到v的所有路径中,最大边最小的边权。
    5、如果在加边的过程中,不添加在同一连通块中的两个点之间的边,使整个 图连通后,这个图是原图的最小生成树,对任意两点u,v,从u走到v的唯 一路径上的最大边就是原图中从u走到v的所有路径中,最大边最小的边权。 (因为L一定在这条路径上,且这条路径上的其它边都小于L)
    6、所以先求出最小生成树,再通过倍增,可以在O(logN)的时间求出从u走到v的所有路径中,最大边最小的边权。
    7、至于如何在一组数中查找有多少个,其大小不小于l,还会动态修改这些数的权值,可以用平衡树做,但是考虑到本题中l≤200000,可以用数组a[i]表示权值为i的数有多少个,所有比lmax大的数可以看成lmax,然后用平衡树/树状数组来维护,可以做到O(log(lmax))的查询和修改
    总复杂度为O(MlogM + QlogN + Qlog(lmax))

    #include <vector>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #define pb push_back
    using namespace std;
    const int W=200100;
    struct edge{int x, y, d;}E[W];
    int mx[W][18], anc[W][18], uni[W], t[W], dep[W], a[W];
    int N, M, K, Q;
    vector<int>nxt[W], c[W];
    int lowbit(int x){return x & (-x);}
    void add(int x, int d)
    {
        for (; x <= 200001; x += lowbit(x)) a[x] += d;
    }
    int getsum(int x)
    {
        int sum=0;
        for (; x > 0; x -= lowbit(x)) sum += a[x];
        return sum;
    }
    void Read()
    {
        scanf("%d%d%d%d", &N, &M, &K, &Q);
        for (int i=1; i <= M; i++)
        {
            scanf("%d%d%d", &E[i].x, &E[i].y, &E[i].d);
            E[i].d++;
        }
        for (int i=1; i <= K; i++)
        {
            scanf("%d", &t[i]); t[i]++;
            if (t[i] >= 200001) t[i]=200001;
            add(t[i], 1);
        }
    }
    bool cmp(const edge &A, const edge &B){return A.d < B.d;}
    int Uni(int x)
    {
        if (uni[x] == x) return x;
        return uni[x]=Uni(uni[x]);
    }
    void Init()
    {
        for (int i=1; i <= N; i++) uni[i]=i;	
        for (int i=1; i <= M; i++)
        {
            int x=E[i].x, y=E[i].y;
            x=Uni(x); y=Uni(y);
            if (x == y) continue;
            uni[x]=y;
            nxt[E[i].x].pb(E[i].y);
            nxt[E[i].y].pb(E[i].x);
            c[E[i].x].pb(E[i].d);
            c[E[i].y].pb(E[i].d);
        }
    }
    void Build(int x, int fa, int D)
    {
        dep[x]=D;
        anc[x][0]=fa;
        for (int i=1; i <= 17; i++)
        {
            if (dep[x] - (1 << i) < 1) break;
            anc[x][i]=anc[anc[x][i - 1]][i - 1];
            mx[x][i]=max(mx[x][i - 1], mx[anc[x][i - 1]][i - 1]);
        }
        for (int i=0; i < (int)nxt[x].size(); i++)
        {
            int y=nxt[x][i];
            if (y == fa) continue;
            mx[y][0]=c[x][i];
            Build(y, x, D + 1);
        }
    }
    int Find(int u, int v)
    {
        int sum=0;
        if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
        for (int i=17; i >= 0; i--)
            if (dep[u] - (1 << i) >= dep[v])
            {
                sum=max(sum, mx[u][i]);
                u=anc[u][i];
            }
        if (u == v) return sum;
        for (int i=17; i >= 0; i--)
            if (dep[u] - (1 << i) >= 1 && anc[u][i] != anc[v][i])
            {
                sum=max(max(sum, mx[u][i]), mx[v][i]);
                u=anc[u][i], v=anc[v][i];
            }
        sum=max(max(sum, mx[u][0]), mx[v][0]);
        return sum;
    }
    void Solve()
    {
        while (Q--)
        {
            int ope; scanf("%d", &ope);
            if (ope == 1)
            {
                int x, p; scanf("%d%d", &x, &p); p++;
                add(t[x], -1);
                t[x]=p; if (t[x] >= 200001) t[x]=200001;
                add(t[x], 1);
            }
            else
            {
                int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
                int val=Find(u, v);
                printf("%d
    ", K - getsum(val - 1));
            }
        }
    }
    int main()
    {
        Read();
        sort(E + 1, E + 1 + M, cmp);
        Init();
        Build(1, 0, 1);
        Solve();
        return 0;
    }
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