最小生成树（luogu 3366）

题目描述

给出一个无向图，求出最小生成树

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含两个整数N、M，表示该图共有N个结点和M条无向边。（N<=5000，M<=200000）

接下来M行每行包含三个整数Xi、Yi、Zi，表示有一条长度为Zi的无向边连接结点Xi、Yi

 

输出格式：

 

输出包含一个数，即最小生成树的各边的长度之和

 

输入输出样例

输入样例

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

输出样例

7

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于20%的数据：N<=5，M<=20

对于40%的数据：N<=50，M<=2500

对于70%的数据：N<=500，M<=10000

对于100%的数据：N<=5000，M<=200000

样例解释：

所以最小生成树的总边权为2+2+3=7

---

算法 1 ：Kruskal

这个算法与求最短路的 dij 算法非常像，不同处只有一行

送一个额外的样例：

5 18
2 4 276
3 3 435
3 4 608
2 4 860
1 2 318
1 3 547
5 4 419
2 5 98
1 5 460
5 3 399
3 5 240
3 2 733
3 3 903
4 2 909
5 2 206
3 4 810
2 1 115
2 3 419

ans=729

调了 n 便的代码（有些独流题两点之间会有多条道路，一定要取 min !!!）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MX=5010;
int n,m,f[MX][MX],dis[MX];
bool vis[MX];

void prim()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int pos=0;
        for(int j=1;j<=n;++j)
            if((!vis[j]) && dis[j]<dis[pos]) 
                pos=j;
        if(pos==0)break;
        vis[pos]=1;
        for(int j=1;j<=n;++j) 
            if( !vis[j] && f[pos][j]<dis[j]) dis[j]=f[pos][j];    
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=m;++i) 
    {
        int from,to,val;
        scanf("%d%d%d",&from,&to,&val);
        f[from][to]=f[to][from]=min(f[from][to],val);
    }
    prim();
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        t+=dis[i];
    printf("%d",t);
    return 0;
}

算法 2：Prim

这个是一个非常简单暴力的算法，既然要求最小生成树，那所取的边必然是所有边排完序（升序），不断地从小取到大，直到取到 n-1 条（树的性质）

如果每两点只有一条边，上述操作已经可以了

但就是有些独流题目（比如这道），不止一条，我们就需要用并查集来记录是否已连接，还可以防止成环哦~（感觉并不需要）

其实用 vis 的一个二维数组也可以，但占用空间过大（数据点小还是挺方便的）

代码^-^

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MX=5010;
struct Edge {
    int x,y,val;
}edge[200001];
int n,m,ans,cnt,fa[MX];
bool operator<(Edge a,Edge b) {
    return a.val<b.val;
}

int Get(int x){
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=Get(fa[x]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m); 
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].val);    
    }
    sort(edge+1,edge+1+m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x=Get(edge[i].x);    
        int y=Get(edge[i].y);
        if(x==y) continue;
        fa[x]=y;
        ans+=edge[i].val;
        if(++cnt==n-1) break;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}