虚树算法其实原理蛮简单的就是，从一颗n个结点的原树上在只取出必要结点成一颗新树，这颗新树必包含指定m个结点并保持原树上的祖孙关系。
首先我们来解答一些问题
问：什么样的结点是必要的呢？？
答：指定的m个结点和 这m个结点中任意两个结点的最近公共祖先。
问：为啥要包含最近公共祖先呢？
答：因为最近公共是虚树的关节点，起到连接这m个点的作用
问：任意两个结点的公共祖先构成集合，会不会有m*(m-1)/2个点？
答：其实这些祖先构成的集合最多就m-1个点，因为虚树其实原理有点类似在树上跑不压缩路径的并查集，你连接m个点最多也只需要m-1个关节点.
首先来看两张图，直观感受虚树的构建
1.构建必须包含2,4,7,6的虚树
2.构建必须包含2,7,8的虚树
虚树的构建方法可以看这篇文章https://www.cnblogs.com/chenhuan001/p/5639482.html
总体上就是先按dfs排个序，然后用栈加LCA对这m个结点实现深度优先遍历并记录路径以方便建虚树。最后要注意的是建边一定要在出栈的时候建，因为有可能出现图2的那种情况，两个点之间还需再塞进去一个结点。
算法复杂度：
因为虚树构建时需要对结点按dfs序排序，并求出排序后相邻结点的LCA的所以算法复杂度O(mlog(n*m))
虚树优点：
虚树主要配合树形DP食用，因为树形DP的复杂是与树的结点数成正比的，通过构建虚树，可以把树的结点数下降到2m-1以内，从而大大提高树形DP的效率。
代码实现：
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 #include<queue> 5 #include<vector> 6 #include<stack> 7 using namespace std; 8 const int MAXN=100006; 9 /** 10 @var d[v] 结点v的深度 11 @var f[v][i] 结点v的第2^i个祖先 12 @var id[v] 结点的dfs序 13 @var e[v] 结点v在原树邻接表 14 @var vt[v] 结点v在虚树上包含的邻接表 15 @var que 要查询的结点的集合（虚树必须包含的结点） 16 @var LN log2(最大深度)的向下取值 17 @var st 栈，用于构建ST表 18 @var z dfs序的计数器 19 注意结点标号必须从1开始，因为0拿去当空结点了。 20 */ 21 int d[MAXN],f[MAXN][18],id[MAXN],LN=0,z,st[MAXN]; 22 vector<int>e[MAXN],vt[MAXN],que; 23 int init(int n) 24 { 25 z=0; 26 memset(f,0,sizeof(f)); 27 for(int i=1; i<=n; i++) 28 e[i].clear(); 29 d[0]=-1; 30 LN=0; 31 } 32 void dfs(int v,int deep) 33 { 34 d[v]=deep; 35 st[deep]=v; 36 id[v]=++z; 37 if((1<<LN)<deep) 38 LN++; 39 int i,j; 40 for(i=1,j=0; i<=deep; i<<=1,j++) 41 { 42 f[v][j]=st[deep-i]; 43 } 44 for(i=0; i<e[v].size(); i++) 45 { 46 if(e[v][i]!=f[v][0]) 47 { 48 dfs(e[v][i],deep+1); 49 } 50 } 51 } 52 int lca(int x,int y) 53 { 54 if(d[x]<d[y]) 55 swap(x,y); 56 int i; 57 for(i=LN; i>=0; i--) 58 { 59 if(f[x][i]&&d[f[x][i]]>=d[y]) 60 x=f[x][i]; 61 } 62 if(x==y) 63 return x; 64 for(i=LN; i>=0; i--) 65 { 66 if(f[x][i]>0&&f[x][i]!=f[y][i]) 67 { 68 x=f[x][i]; 69 y=f[y][i]; 70 } 71 } 72 return f[x][0]; 73 } 74 int cmp(const int &x,const int &y) 75 { 76 return id[x]<id[y]; 77 } 78 int build(vector<int> &que) 79 { 80 int i,j,k,temp; 81 sort(que.begin(),que.end(),cmp); 82 stack<int>st; 83 st.push(que[0]); 84 vt[que[0]].clear(); 85 for(i=1; i<que.size(); i++)///每次有出栈的时候开始建边 86 { 87 k=lca(que[i],st.top()); 88 temp=0; 89 while(!st.empty()&&lca(k,st.top())!=st.top()) 90 { 91 if(temp) 92 vt[st.top()].push_back(temp); 93 temp=st.top(); 94 st.pop(); 95 } 96 if(st.empty()||st.top()!=k) 97 { 98 st.push(k); 99 vt[k].clear(); 100 } 101 if(temp) 102 vt[st.top()].push_back(temp); 103 st.push(que[i]); 104 vt[que[i]].clear(); 105 } 106 temp=0; 107 while(!st.empty()) 108 { 109 if(temp) 110 vt[st.top()].push_back(temp); 111 temp=st.top(); 112 st.pop(); 113 } 114 return temp; 115 }
习题：http://codeforces.com/problemset/problem/613/D
这题需要树形DP基础，而且要讨论的情况有点多，所以其实有点不适合入门.....，因为很可能被树形DP卡住