几种走法

Problem description

从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走。恰好走N步且不经过已走的点共有多少种走法？

Input format　

一个数N。1<=N<=1000。

Output format

一个整数，表示共有多少种走法。由于结果可能很大，你只需要输出这个答案mod 12345的值。

Algorithm design

搜索TLE/动态规划AC

Problem analysis

搜索TLE

一开始大脑短路没有思路就先写了搜索

发现好像挺难写

如果取起点为0，0，那么会出现负数的情况

所以还加了各种补丁，为数组设定象限

其实是一开始没有考虑好，直接取起点为1001,0就行了

说到底还是搜索不熟练

动规AC

O（n3）

题目中小蛮可以向左走也可以向右走非常的闹心

如果单纯地采用一维转移会有后效性，可能原地踏步

唯有向上走是很简单的，且每到达1个新的高度就无后效性

所以采用1个状态细分思想

设定高度h和步数n两个要素

Obviously,（h,n）可以由（h-1,n-1）向上1步的来

同时也可以由（h,n-j）向左或右转移而来

但是探究一下就能发现，小蛮在一定高度只能向左或右一个方向走

所以如果（h,n-j）是由某个点向左或向右走过来，一定会被重复

故只需要考虑（h,n-j）由一个点向上走过来的情况，即（h-1，n-j-1）

由上得：

 

O(n2)

很简单，O（n3）的前缀和

O(n)

每个点都可以由步数少1的点向上1步或者向左右中某一个方向1步得来

这样一定不会有重复，则opt[i]=2*opt[i-1]

但是其中“冤枉”了一些可以向左右两个方向延伸的点

他们都可以再走另一种方式

而可以向左右延伸的点必定是刚到达一个新高度的点

也就是opt[i-2]向上1步形成的节点

则opt[i]=2*opt[i-1]+opt[i-2];

难点：状态细分

【Source code】

#include <bits/stdc++.h>
#define lim 1010
#define mo 12345

using namespace std;

int sum,ans,opt[lim][lim];
/*
   sum即为总步数
   ans即为总方案数
   opt[h][n]意为走n步到达h高度的方案数
*/

void input()
{
    freopen("problem3.in","r",stdin);
    freopen("problem3.out","w",stdout);
    cin>>sum;
    return ;
}
//读入处理

void operate()
{
    opt[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=sum;i++)
        opt[0][i]=2;
    /*
       初始化，不走当然是1种方案
       在0级高度只能向1个方向走，当然是2种
    */
    for(int i=1;i<=sum;i++)
    {
        int wei=0;
        for(int j=i;j<=sum;j++)
        {
            opt[i][j]=(opt[i-1][j-1]+wei)%mo;
            wei+=2*opt[i-1][j-1];
        }
    }
    /*
       每个节点都可由2种方式延伸
       1.由下方节点向上
       2.由左右节点向右左延伸
       为了规避重复，可以取左右节点的下方节点的方案总数，那么每个左右节点都可视作刚到达该高度
       这里肯定可以用一个前缀和思想退成o（n2），先不用，测一下数据强度
       竟然就ac了..
       没关系还是要优化到最简
    */
}

void output()
{
    for(int i=0;i<=sum;i++)
        ans=(ans+opt[i][sum])%mo;
    cout<<ans<<endl;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return ;
}

int main()
{
    input();
    operate();
    output();
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
#define lim 1010
#define mo 12345

using namespace std;

int sum,opt[lim];
/*
   sum即为总步数
   ans即为总方案数
   opt[n]意为走n步的方案数
*/

void input()
{
    freopen("problem3.in","r",stdin);
    freopen("problem3.out","w",stdout);
    cin>>sum;
    return ;
}
//读入处理

void operate()
{
    opt[0]=1;
    opt[1]=3;
    for(int i=2;i<=sum;i++)
        opt[i]=(2*opt[i-1]+opt[i-2])%mo;
    return ;
}

void output()
{
    cout<<opt[sum]<<endl;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return ;
}

int main()
{
    input();
    operate();
    output();
    return 0;
}